Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，将△ABC折叠，使点B落在边AC上的D处，折痕为PQ．
（1）当点D与点A重合时，折痕PQ的长为2；
（2）设AD=x，AP=y．
①求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
②当x取何值时，重叠部分为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由折叠得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出PQ是△ABC的中位线，即可得出结论；
（2）①由折叠得出PD=BP=4-y，再用勾股定理建立方程即可得出结论；
②根据等腰三角形的定义，分①PD=DQ时，BP=BQ，再根据翻折变换前后的线段相等判断出BP=BQ=PD=DQ，从而得到四边形BQDP是菱形，根据菱形的对边平行可得PD∥BC，BP∥DQ，然后判断出△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质用AD表示出PD、CD，然后根据AC的长度列方程求解即可；②DQ=PQ时，BQ=PQ，求出△BPQ是等腰直角三角形，点B与点C重合，从而得到AD=AC；③PD=PQ时，PQ=BP，然后求出△BPQ是等腰直角三角形，点B与点A重合，不符合题意．

解答 解：（1）如图，
当点D和点A重合时，
由折叠知，AP=BP，∠BPQ=∠APQ，
∵∠APQ+∠BPQ=180°，
∴∠BPQ=∠APQ=90°=∠BAC，
∴PQ∥AC，
∵AP=BP，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AC=2；

（2）∵AD=x，AC=4，
∴CD=4-x，
∵AP=y，AB=4，
∴BP=4-y，
在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=4，
∴BC=4$\sqrt{2}$，∠B=∠C=45°，
如图1，
由折叠知，DP=BP=4-y，
在Rt△ADP中，根据勾股定理得，AP²+AD²=PD²，
∴y²+x²=（4-y）²，
∴y=-$\frac{1}{8}$x²+2（0≤x≤4）；

（3）①PD=DQ时，BP=BQ，
由翻折变换得，BP=PD，BQ=DQ，
∴BP=BQ=PD=DQ，
∴四边形BQDP是菱形，
∴PD∥BC，BP∥DQ，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，
在Rt△APD中，PD=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$x，
在Rt△CDQ中，CD=DQ，
∵PD=DQ，
∴CD=$\sqrt{2}$AD，
∵AC=AD+CD，
∴AD+$\sqrt{2}$AD=4，
即：x+$\sqrt{2}$x=4
解得AD=4$\sqrt{2}$-4；
②DQ=PQ时，BQ=PQ，
∴∠BPQ=∠B=45°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴点B与点C重合，
∴x=AD=AC=4；
③PD=PQ时，PQ=BP，
∴∠BQP=∠B=45°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴点B与点A重合，
此时，点B与点A重合，不符合题意，舍去；
综上所述，AD的长度为4或4$\sqrt{2}$-4．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解（1）的关键是得出PQ是AB的垂直平分线，解（2）①的关键是利用勾股定理建立方程，解（2）②的关键是分类讨论思想，是一道中考常考题．