Question

9．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，E为△ABC外一点，CE⊥FE，CE=FE，连接AE、BF，点M为AE中点，点N为BF中点．
（1）若BC=4$\sqrt{2}$，FC=2$\sqrt{2}$，∠ECA=30°，求S_△ACE．
（2）求证：MN⊥AE．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EN⊥AC于N．利用等腰直角三角形的性质，求出EC、AC，在Rt△ECN中利用30度性质，求出EN即可解决问题．
（2）如图2中，延长EN到G，使得NG=EN，连接AN、AG、BG，延长BG交EC的延长线于H．只要证明△ACE≌△ABG，推出AE=AG，∠EAC=∠GAB，推出∠EAG=∠CAB=90°，可得△EAB是等腰直角三角形，由EN=NG，推出AN=EN，由EM=MA，即可推出MN⊥AE．

解答 （1）解：如图1中，作EN⊥AC于N．

∵△EFC，△ABC都是等腰直角三角形，BC=4$\sqrt{2}$，CF=2$\sqrt{2}$，
∴CE=CF=2，CA=AB=4，
 在Rt△CEN中，∵∠ECN=30°，EC=2，
∴EN=$\frac{1}{2}$EC=1，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$•AC•EN=$\frac{1}{2}$•4•1=2．

（2）证明：如图2中，延长EN到G，使得NG=EN，连接AN、AG、BG，延长BG交EC的延长线于H．

在△FNE和△BNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EN=NG}\\{∠ENF=∠BNG}\\{NF=NB}\end{array}\right.$，
∴△FNE≌△BNG，
∴EF=BG=EC，∠EFN=∠GBN，
∴EF∥BH，
∴∠FEC=∠H=90°，
∴∠H+∠CAB=180°，
∴∠ACH+∠ABG=180°，
∵∠ACH+∠ACE=180°，
∴∠ACE=∠ABG，
在△ACE和△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACE=∠ABG}\\{CE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABG，
∴AE=AG，∠EAC=∠GAB，
∴∠EAG=∠CAB=90°，
∴△EAB是等腰直角三角形，
∵EN=NG，
∴AN=EN，∵EM=MA，
∴MN⊥AE．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．