Question

5．已知等边△ABC，E为平面内任意点，连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转60°得到AD，连接BD，CE．
（1）当点E在等边△ABC内时，依题意补全图形；
（2）连接（1）中的DE，得到△ADE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中设动直线BD、CE交于点P，∠BPC的度数是否会发生改变？为什么？
（3）当AB=4，AE=2，请直接写出AE绕着点A旋转一周时，动点P经过的路径长为$\frac{8\sqrt{3}}{9}$π．

Answer 1

分析 （1）根据题意补全图形如图1，
（2）先判断出△BAD≌△CAE，得出∠ABD=∠ACE，最后用三角形的内角和即可得出结论；
（3）根据（2）的结论得出点P是等边三角形ABC的外接圆上的一段弧，进而判断出弧所对的圆心角和半径即可得出结论．

解答 解：（1）补全图形如图1所示；
（2）如图2，

∠BPC的度数不发生变化，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
由旋转知，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABD-∠ABC-∠ACB+∠ACE=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
（3）如图3，

由（2）知，∠BPC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴点P是等边三角形ABC的外接圆上的一段弧（$\widehat{P'AP''}$）
当点D落在边AC上时，
∵AC=4，AD=2，
∴BP'⊥AC，
当点E落在边AB上时，
∵AE=2，AB=4，
∴BP''⊥AB，
∴△ABC的外接圆的圆心就是BP'与BP''的交点，
∴∠P'OP''=120°，
在Rt△OCF中，CF=AC-AE=2，∠OCF=30°，cos∠OCF=$\frac{CF}{OC}$，
∴OC=$\frac{CF}{cos∠OCF}$=$\frac{2}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴动点P经过的路径长为$\frac{120°×π×\frac{4\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{8\sqrt{3}}{9}π$，
故答案为$\frac{8\sqrt{3}}{9}$π．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，四点共圆，解（2）的关键是判断出△BAD≌△CAE，解（3）的关键是判断出点P的运动轨迹，是一道中等难度的中考常考题．