Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F．现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A₁，AD的中点E的对应点记为E₁．若△E₁FA₁∽△E₁BF，则AD=

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,相似三角形的性质

专题：

分析：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，然后求出BE₁，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E₁F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．

解答：解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=

AB2-AC2

=4，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A₁，点E的对应点为E₁，
∴AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴

AD

AC

=

DF

BC

，
即

2x

4

=

DF

3

，
解得DF=

3

2

x，
在Rt△DE₁F中，E₁F=

13 x

2

，
又∵BE₁=AB-AE₁=5-3x，△E₁FA₁∽△E₁BF，
∴

E1F

A1E1

=

BE1

E1F

，
∴E₁F²=A₁E₁•BE₁，
即（

13 x

2

）²=x（5-3x），
解得x=

4

5

，
∴AD的长为2×

4

5

=

8

5

．
故答案为：

8

5

．

点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．