分析 (1)由对折得到∠A=∠CMD=45°=∠B,∠ACD=∠MCD,CM=AC=BC,再判断出BC=CM,即可;
(2)先求出∠DME=∠A+∠B=60°,再分两种情况利用锐角三角函数即可;
(3)先判断出AD最长时的位置,然后用锐角三角函数计算即可.
解答 证明:(1)∵△CMD是△CAD对折所得,
∴∠A=∠CMD=45°=∠B,∠ACD=∠MCD,CM=AC=BC
∵∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴∠MCD+∠MCE=45°,
∴∠ACD+∠MCE=45°
∵∠ACD+∠BCE=45°,
∴∠MCE=∠BCE,
∵AC=BC,
∴BC=CM,
在△MCE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠BCE}\\{CM=CB}\\{∠CME=∠B}\end{array}\right.$,
∴△MCE≌△BCE,
(2)如图,
∵AC=BC,∠ACB=120°,
∴∠A=∠B=30°,
同(1)方法可证,△CME≌△CBE,
∴∠CME=∠B,
∴∠DME=∠A+∠B=60°,
∵AD、DE、EB为边的三角形是直角三角形,
∴△DME是直角三角形,
∴∠MDE=90°,或∠DEM=90°,
①当∠MDE=90°时,∠DEM=30°,
∴sin∠DEM=$\frac{DM}{ME}$,
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AD}{EB}=\frac{1}{2}$,
②当∠DEM=90°时,∠MDE=30°,
∴sin∠MDE=$\frac{EM}{DM}$,
∴$\frac{EM}{DM}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AD}{BE}$=2,
即:$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{2}$或2;
(3)∵D在E的左边,
∴AD最大只能靠近AB边上的高,
∵∠ACB=120°,AC=3,
∴AB边上的高为2$\sqrt{3}$,
∴0<AD<2$\sqrt{3}$.
故答案为0<AD<2$\sqrt{3}$.
点评 此题是几何变换综合题,主要考查了对折的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的判定,锐角三角函数的意义,解本题的关键是判断△CME≌△CBE.
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A. | -$\sqrt{10}$ | B. | -1-$\sqrt{10}$ | C. | $\sqrt{10}$-2 | D. | 2-$\sqrt{10}$ |
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