Question

【题目】如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为________.

Answer 1

【答案】

【解析】

作DF⊥BA于F，连接AD，DC．只要证明△DFA≌△DEC（ASA），推出AF=CE，Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），推出AF=BE得到四边形BEDF是正方形，BD是对角线，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由切线长定理可知：AN=4，推出ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt△OMN中，理由勾股定理即可解决问题．

作DF⊥BA于F，连接AD，DC．

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，

∴DF=DE，∠DFB=∠DEB=90°，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EDF=180°，

∴∠ADC=∠EDF，

∴∠FDA=∠CDE，

∵∠DFA=∠DEC=90°，

∴△DFA≌△DEC（ASA），

∴AF=CE，

∵BD=BD，DF=DE，

∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），

∴BF=BE，

∴四边形BEDF是正方形，BD是对角线，

∵BD=7，

∴正方形BEDF的边长为7，

由（2）可知：BC=2BE-AB=8，

∴AC==10，

作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．

由切线长定理可知：AN==4，

∴ON=5-4=1，

由面积法可知内切圆半径为2，

在Rt△OMN中，OM=．

∴△ABC的内心与外心之间的距离为，

故答案为．