Question

如图所示，在△ABC 中，AB =AC，D为AB上一点，过D 作DE⊥BC，E 为垂足，并与CA 的延长线相交于F，求证AD =AF．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：在△ABC中，AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角)． ∵DE⊥BC(已知)，∴∠DEB=∠DEC=90°(垂直定义)． 在Rt△FEC中， ∠F=180°－(∠DEC＋∠C)=90°－∠C(三角形内角和定理)． 同理∠2=180°－(∠DEB＋∠B)=90°－∠B ∴∠F=∠2(等量代换)． 又∵∠2=∠1(对顶角相等)，∴∠F=∠1(等量代换)． ∴AF=AD(等角对等边)．

提示：

由已知AB=AC，DE⊥BC，可以得到∠B=∠C和∠DEB=∠FEC=90°．要证AD=AF，只需证∠F=∠1，因为∠2=∠1，所以只需证出∠F=∠2．又∠F与∠2分别是Rt△FEC与Rt△DEB的一个锐角，而它的另一锐角∠B与∠C相等，所以由等角的余角相等．不难得出结论．