Question

如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。

（1）求∠B的大小：
（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长。

Answer 1

（1）证明略
（2）AD=2OE=6

分析：（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．
解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°；
又∵∠APD=65°，
∴∠BPD=115°；
∴在△BPD中，
∴∠B=180°-∠CDB-∠BPD=25°；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；
∴OE∥AD；
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD=2OE=6．