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如图,已知BC是⊙O的直径,AH⊥BC,垂足为D,点A为弧EF的中点,BF交AD于点E,且BE·EF=32,AD=6.
 
(1)求证:AE=BE;
(2)求DE的长;
(3)求BD的长 .
(1)连AF,由A为的中点可得∠ABE=∠AFB,再根据圆周角定理可得∠AFB=∠ACB,即得∠ABE=∠ACB,由BC为直径可得∠BAC=90°,AH⊥BC,即可证得结论;(2)2;(3)

试题分析:(1)连AF,由A为的中点可得∠ABE=∠AFB,再根据圆周角定理可得∠AFB=∠ACB,即得∠ABE=∠ACB,由BC为直径可得∠BAC=90°,AH⊥BC,即可证得结论;
(2)设DE=x(x>0),由AD=6,BE•EF=32,AE•EH=BE•EF,可列式为(6-x)(6+x)=32,由此求解;
(3)由(1)、(2)有:BE=AE=6-2=4,根据Rt△BDE中的勾股定理求解.
(1)连AF,

∵A为的中点,
∴∠ABE=∠AFB,
又∠AFB=∠ACB,
∴∠ABE=∠ACB .
∵ BC为直径,
∴∠BAC=90°,AH⊥BC,
∴∠BAE=∠ACB,
∴∠ABE=∠BAE,
∴ AE=BE;
(2)设DE=x(x>0),由AD=6,BE·EF=32,AE·EH=BE·EF,
有(6-x)(6+x)=32,由此解得x=2, 即DE的长为2;
(3)由(1)、(2)有:BE=AE=6-2=4,
在RtΔBDE中,BD==.
点评:圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,均等于所对圆心角的一半.
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