Question

如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为弧EF的中点，BF交AD于点E，且BE·EF=32，AD=6.
 
（1）求证：AE=BE；
（2）求DE的长；
（3）求BD的长 .

Answer 1

（1）连AF，由A为的中点可得∠ABE=∠AFB，再根据圆周角定理可得∠AFB=∠ACB，即得∠ABE=∠ACB，由BC为直径可得∠BAC=90°，AH⊥BC，即可证得结论；（2）2；（3）

试题分析：（1）连AF，由A为的中点可得∠ABE=∠AFB，再根据圆周角定理可得∠AFB=∠ACB，即得∠ABE=∠ACB，由BC为直径可得∠BAC=90°，AH⊥BC，即可证得结论；
（2）设DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，可列式为（6-x）（6+x）=32，由此求解；
（3）由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，根据Rt△BDE中的勾股定理求解．
（1）连AF，

∵A为的中点，
∴∠ABE=∠AFB，
又∠AFB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB .
∵ BC为直径，
∴∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴∠BAE=∠ACB，
∴∠ABE=∠BAE，
∴ AE=BE；
（2）设DE=x（x>0），由AD=6，BE·EF=32，AE·EH=BE·EF，
有(6-x)(6+x)=32，由此解得x=2， 即DE的长为2；
（3）由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，
在RtΔBDE中，BD==.
点评：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.