Question

如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=35°，∠ACB=

145°

；若∠ACB=140°，则∠DCE=

40°

；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）若保持三角尺BCE（其中∠B=45°）不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD（其中∠D=30°）绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．
设∠BCD=α（0°＜α＜90°）
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．
②当这两块三角尺各有一条边互相垂直时直接写出α的所有可能值．

Answer 1

分析：（1）由于是两直角三角形板重叠，重叠的部分就比90°+90°减少的部分，所以若∠DCE=35°，则∠ACB的度数为180°-35°=145°，∠ACB=140°，则∠DCE的度数为180°-140°=40°
（2）由于∠ACD=∠ECB=90°，重叠的度数就是∠ECD的度数，所以∠ACB+∠DCE=180°．
（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，设∠ACB=4x，∠DCE=x，利用∠ACB与∠DCE互补得出即可；
②分别利用CE⊥AD，BE⊥CD，BE⊥AD分别求出即可．

解答：解：（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，∠DCE=35°，
∴∠ACB=180°-35°=145°．
∵∠ACD=∠ECB=90°，∠ACB=140°，
∴∠DCE=180°-140°=40°．
故答案为：145°，40°；

（2）∠ACB+∠DCE=180°或互补，
理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE=180°，即∠ACB与∠DCE互补．

（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，
∴设∠ACB=4x，∠DCE=x，
∵∠ACB+∠DCE=180°，
∴4x+x=180°
解得：x=36°，
∴α=90°-36°=54°；

②CE⊥AD时，α=30°，
BE⊥CD时，α=45°，
BE⊥AD时，α=75°．

点评：此题主要考查了互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．