Question

如图，港口B位于港口O正西方向120海里处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多少时间？
（2）快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？

Answer 1

分析：（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间．
（2）过C作CH⊥OA，垂足为H．设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考察船在OA上的D处相遇，则CD=60x，OD=20（x+2）．根据直角三角形的性质可解得x的值，从而求得快艇从小岛C出发后和考察船相遇的最短的时间．

解答：解：（1）由题意可知：∠CBO=60°，∠COB=30度．
∴∠BCO=90度．
在Rt△BCO中，
∵OB=120，
∴BC=60，OC=60

3

．
∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）．

（2）设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考察船在
OA上的D处相遇，则CD=60x．
过点D作DE⊥CO于点E，
∵考察船与快艇是同时出发，
∵快艇从港口B到小岛C的时间是1小时，在小岛C用1小时装补给物资，
∴考察船从O到D行驶了（x+2）小时，
∴OD=20（x+2）．
过C作CH⊥OA，垂足为H，
在△OHC中，
∵∠COH=30°，OB=120，
∴CO=60

3

，
∴CH=30

3

，OH=90．
∴DH=OH-OD=90-20（x+2）=50-20x．
在Rt△CHD中，CH²+DH²=CD²，
∴(30

3

)2+（50-20x）²=（60x）²．
整理得：8x²+5x-13=0．
解得：x₁=1，x₂=-

13

8

．
∵x＞0，
∴x=1．
答：快艇从小岛C出发后最少需要1小时才能和考察船相遇．

点评：此题考查学生对方向角的理解及解直角三角形的综合计算能力，难易程度适中．