Question

已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=

1

2

OB
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若半径OC为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）利用题中的边的关系可求出△OAC是正三角形，然后利用角边关系又可求出∠CAB=30°，从而求出∠OAB=90°，所以判断出直线AB与⊙O相切；
（2）扇形OAC的面积与等边△OAC的面积的差就是阴影部分的面积．

解答：解：（1）解：（1）直线AB是⊙O的切线，理由如下：
连接OA．
∵OC=BC，AC=

1

2

OB，
∴OC=BC=AC=OA，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠O=∠OCA=60°，
又∵∠B=∠CAB，
∴∠B=30°，
∴∠OAB=90°．
∴AB是⊙O的切线．

（2）∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△OAC是等边三角形．
则S_扇形OAC=

60π×22

360

=

2

3

π，
S_△OAC=

3 ×22

4

=

3

，
则S阴影=S_扇形OAC-S_△OAC=

2

3

π-

3

．

点评：本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．