【题目】如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=6,OB=8,动点Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t≤5),以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连结CD、CQ.
⑴ 当点Q与点D重合时,求t的值;
⑵ 若△ACQ是等腰三角形,求t的值;
⑶ 若⊙P与线段QC只有一个公共点,求t的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 或者或者.;(3) 或者
【解析】
(1)点Q与点D重合时,先证明 ,得到 ,利用平行线分线段成比例,找出AD的长,利用OQ+DA=OA,求出t的值.
(2)分三种情况进行讨论,AQ=AC;QC=CA;QC=QA,利用等腰三角形性质和三角形相似求出.
(3)一个交点,分情况讨论,当圆P与QC相切的时候,以及点Q与D重合的时候进行讨论,便可找出t的取值范围.
解: CA是直径,∠AOB=90°.
.
在△AOB中,∠AOB=90°,OA=6,OB=8中.
.
即 .
当秒时,点Q与点D重合.
(2)若△ACQ是等腰三角形时,分三种情况讨论.
①当AQ=AC时,即AC=AQ=2t,OQ=t.
即:.
②当QC=CA时,即QC=CA=2t,由(1)知.
即: .
③当QC=QA时,过点Q作,则AE=t,AQ=6-t
∽.
.
即: .
综上所述,当△ACQ是等腰三角形时,或者或者.
(3)当QC与圆P相切时, .
.
.
∽
即: .
解得:
当 时,圆P与QC只有一个交点.
当 时,由(1)知: .
当 时,圆P与QC只有一个交点.
故:当圆P与QC只有 一个交点时,t的范围:或者.
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【题目】如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求此反比例函数的表达式;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.
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【题目】在“新冠肺炎”肆虐时,无数抗疫英雄涌现,七年级(2)班老师为让同学们更深人地了解抗疫英雄钟南山、李兰娟、李文亮、张文宏(依次记为A、B、C、D)的事迹,设计了如下活动:取四张完全相同的卡片.分别写上A、B、C、D)四个标号,然后背面朝上放置在水平桌面上,搅匀后每个同学从中随机抽取一张卡片,记下标号后放回,老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相对应抗疫英雄的资料,并做成小报.
(1)求小欢同学抽到的卡片上是钟南山的概率;
(2)请用列表法或画树状图的方法,求小平和小安两位同学抽到的卡片上是不同英雄的概率.
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【题目】某校为了解学生的安全意识情况,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,根据调查结果,把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次,并绘制成如下两幅尚不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次调查一共抽取了 名学生,其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是 ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)该校有1800名学生,现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育,根据调查结果,估计全校需要强化安全教育的学生约有 名.
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【题目】如图,在中,,以为直径的与相交于点E,连接CE.
(1)求证:;
(2)如果的面积为3,求的面积;
(3)如图的角平分线BD交AC于点D,于点交于点F,连接,求证:.
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【题目】如图,在3×3正方形方格中,有3个小正方形涂成了黑色,所形成的图案如图所示,图中每块小正方形除颜色外完全相同.
(1)一个小球在这个正方形方格上自由滚动,那么小球停在黑色小正方形的概率是多少?
(2)现将方格内空白的小正方形(A、B、C、D、E、F)中任取2个涂黑,得到新图案,请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率.
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【题目】如图,河旁有一座小山,从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°,测得岸边点D的俯角为45°,现从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,如果AC是120米,求河宽CD的长?
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