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如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B点重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
①用含有m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,直接写出m的值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写出m的值;若不存在,说明理由.

【答案】分析:(1)已知直线AB的解析式,首先能确定A、B点的坐标,然后利用待定系数法确定a、b的值;若设直线AB与y轴的交点为E,E点坐标易知,在Rt△AEO中,能求出sin∠AEO,而∠AEO=∠ACP,则∠ACP的正弦值可得.
(2)①已知P点横坐标,根据直线AB、抛物线的解析式,求出C、P的坐标,由此得到线段PC的长;在Rt△PCD中,根据(1)中∠ACP的正弦值,即可求出PD的表达式,再根据所得函数的性质求出PD长的最大值.
②在表达△PCD、△PBC的面积时,若都以PC为底,那么它们的面积比等于PC边上的高的比.分别过B、D作PC的垂线,首先求出这两条垂线段的表达式,然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值.
解答:解:(1)由x+1=0,得x=-2,∴A(-2,0).
x+1=3,得x=4,∴B(4,3).
∵y=ax2+bx-3经过A、B两点,


则抛物线的解析式为:y=x2-x-3,
设直线AB与y轴交于点E,则E(0,1).
∵PC∥y轴,
∴∠ACP=∠AEO.
∴sin∠ACP=sin∠AEO===

(2)①由(1)知,抛物线的解析式为y=x2-x-3.则点P(m,m2-m-3).
已知直线AB:y=x+1,则点C(m,m+1).
∴PC=m+1-(m2-m-3)=-m2+m+4=-(m-1)2+
Rt△PCD中,PD=PC•sin∠ACP=[-(m-1)2+]•=-(m-1)2+
∴PD长的最大值为:

②如图,分别过点D、B作DF⊥PC,BG⊥PC,垂足分别为F、G.
∵sin∠ACP=
∴cos∠ACP=
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP==
在Rt△PDF中,DF=PD=-(m2-2m-8).
又∵BG=4-m,
===
==时,解得m=
==时,解得m=
点评:本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识,主要考查学生数形结合思想的应用能力.
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BD
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=
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