Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=．
（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；
（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．
①求证：点B平分线段AF；
②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用E是CD的中点，再加上已知边的长，得出∠AED的余弦为，根据反三角函数，可知∠AED=60°，同理可知∠CEB=60°，从而求出∠AEB=∠CEB=60°，即EB平分∠AEC．
（2）利用平行线分线段成比例定理，可以得到CE：BF=CP：BP=1：2，即BF=2CE，又AB=CD=2CE，所以点B平分线段AF．因为P是三分点，结合已知边的长，可求出CP和BP的值，再利用勾股定理，可分别求出EP和BP，从而得出EP=BP，再利用SAS可证明△PAE≌△PFB，通过观察可知，∠BPE（或∠APF）就是顺时针旋转的角度．
解答：解：（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC，
由∠D=90°，DE=1，AD=，
推得∠DEA=60°，
同理，∠CEB=60°，从而∠AEB=60°，即EB平分∠AEC；

（2）①∵CE∥BF，BP=2CP，
∴==，
∴BF=2CE，
在△ADE与△BCE中，，
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴DE=CE，
∴AB=CD=2CE，
∴AB=BF，
即点B平分线段AF；

②能．
证明：∵CP=，CE=1，∠C=90°，
∴EP=．
在Rt△ADE中，AE==2，
∴AE=BF，
又∵PB=，
∴PB=PE，
∵∠AEP=∠PBF=90°，
∴△PAE≌△PFB，
∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到，
旋转度数为120°．
点评：本题利用了反三角函数求角，以及平行线分线段成比例定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等有关知识．