Question

【题目】如图1，已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，D为CF上一点，且DA＝DB．

（1）求证：∠ACB＝∠ADB；

（2）求证：AC+BC＜2BD；

（3）如图2，若∠ECF＝60°，证明：AC＝BC+CD．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，证明Rt△DAM≌Rt△DBN，得出∠DAM=∠DBN，则结论得证；
（2）证明Rt△DMC≌Rt△DNC，可得CM=CN，得出AC+BC=2BN，又BN＜BD，则结论得证；
（3）在AC上取一点P，使CP=CD，连接DP，可证明△ADP≌△BDC，得出AP=BC，则结论可得出．

（1）证明：过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，

∵CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，

∴DM＝DN，

在Rt△DAM和Rt△DBN中，

，

∴Rt△DAM≌Rt△DBN（HL），

∴∠DAM＝∠DBN，

∴∠ACB＝∠ADB；

（2）证明：由（1）知DM＝DN，

在Rt△DMC和Rt△DNC中，

，

∴Rt△DMC≌Rt△DNC（HL），

∴CM＝CN，

∴AC+BC＝AM+CM+BC＝AM+CN+BC＝AM+BN，

又∵AM＝BN，

∴AC+BC＝2BN，

∵BN＜BD，

∴AC+BC＜2BD．

（3）由（1）知∠CAD＝∠CBD，在AC上取一点P，使CP＝CD，

连接DP，

∵∠ECF＝60°，∠ACF＝60°，

∴△CDP为等边三角形，

∴DP＝DC，∠DPC＝60°，

∴∠APD＝120°，

∵∠ECF＝60°，

∴∠BCD＝120°，

在△ADP和△BDC中，

，

∴△ADP≌△BDC（AAS），

∴AP＝BC，

∵AC＝AP+CP，

∴AC＝BC+CP，

∴AC＝BC+CD．