Question

3．证明：如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么它四边中点的连线可组成一个正方形．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理证明EF=$\frac{1}{2}$AC，EF∥AC和HG=$\frac{1}{2}$AC，HG∥AC，得到平行四边形EFGH，根据AC=BD得到菱形EFGH，根据AC⊥BD得到答案．

解答 证明：∵E、F分别是AB、BC边的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，EF∥AC，
同理HG=$\frac{1}{2}$AC，HG∥AC，
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E、H分别是AB、AD边的中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，EH∥BD，又AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 本题考查的是三角形中位线定理和正方形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键，注意正方形的判断定理的正确运用．