Question

【题目】如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，交与点F，连接AD、AE．其中①四边形AMFN是正方形；②△ABE≌△ACD；③CE2+BD2＝DE2；④当∠DAE＝45°时，AD2＝DECD．正确结论有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形AMFN是矩形，再证明AM＝AN，从而可判断①；利用SAS可判定△ABE≌△ACD，从而可判断②；在没有∠DAE＝45°时，无法证得DE′＝DE，故可判断③；由∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA可判定△ADE∽△CDA，从而可判定④．

解：∵DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，

∴∠AMF＝∠ANF＝90°，

又∵∠BAC＝90°，

∴四边形AMFN是矩形；

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝45°，

∵DM⊥AB，EN⊥AC，

∴△BDM和△CEN均为等腰直角三角形，

又∵BD＝CE，

∴△BDM≌△CEN（AAS），

∴BM＝CN

∴AM＝AN，

∴四边形AMFN是正方形，故①正确；

∵BD＝CE，

∴BE＝CD，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ABC＝∠C＝45°，AB＝AC，

∴△ABE≌△ACD（SAS），故②正确；

如图所示，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABE′，则CE＝BE′，∠E′BA＝∠C＝45°，

由于△BDM≌△CEN，故点N落在点M处，连接ME′，则D、M、E′共线，

∵∠E′BA＝45°，∠ABC＝45°，

∴∠DBE′＝90°，

∴BE′2+BD2＝DE′2，

∴CE2+BD2＝DE′2，

当∠DAE＝45°时，∠DAE′＝∠DAM+∠EAN＝90°﹣45°＝45°，

AE＝AE′，AD＝AD，

∴△ADE≌△ADE′（SAS），

∴DE′＝DE，

∴在没有∠DAE＝45°时，无法证得DE′＝DE，故③错误；

∵AB＝AC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE，

∴当∠DAE＝45°时，∠ADE＝∠AED＝67.5°，

∵∠C＝45°，

∴∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA，

∴△ADE∽△CDA，

∴＝，

∴AD2＝DECD，故④正确．

综上，正确的有①②④，共3个．

故选：C．