Question

16．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0）．直线y=$\frac{3}{4}$x交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达O点时，点P停止移动．连结PB，PC，设运动时间为t秒．
（1）求D点坐标；
（2）当△PBC为等腰三角形时，求P点坐标；
（3）若点P，Q在运动过程中存在某一时刻，使得以点O，P，Q为顶点的三角形与△BCQ相似，求P的运动速度a的值．

Answer 1

分析 （1）由直线y=$\frac{3}{4}$x交AB于点D，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），把y=4代入y=$\frac{3}{4}$x得，解得x=4，即可求出点D的坐标
（2）分两种情况①当PC=PB时，②当PB=BC时，设P（x，$\frac{3}{4}$x）分别求解即可，
（3）分两种情况：①当PQ⊥x轴，由PQ=$\frac{3}{5}$at，PQ=$\frac{3}{4}$（8-t），可得a的值，由△OPQ∽△BCQ，得出$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{OQ}{CQ}$，解得t的值，即可得出a的值，或利用$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{OQ}{BC}$t的值，即可解得a的值，②当PQ⊥OD，由PQ=$\frac{3}{4}$at，PQ=$\frac{3}{5}$（8-t），可得a的值，由△OPQ∽△BCQ，可得$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{OP}{CQ}$，解得t的值，即可得出a的值，$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{OP}{BC}$，解得t的值，代入求得a的值．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{3}{4}$x交AB于点D，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），
∴把y=4代入y=$\frac{3}{4}$x得，3=$\frac{3}{4}$x，解得x=4，
∴D（4，3）；
（2）①如图1，当PC=PB时，点P为BC的中垂线与直线y=$\frac{3}{4}$x的交点，

∴把y=$\frac{3}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x得，$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$x，解得x=2，
∴${P_1}（{2，\frac{3}{2}}）$；
②如图2，当PB=BC时，设P（x，$\frac{3}{4}$x）

∵B（8，3），
∴PB²=（x-8）²+（$\frac{3}{4}$x-3）²，
∴（x-8）²+（$\frac{3}{4}$x-3）²=9，解得x₁=$\frac{128}{25}$，x₂=8（舍去）
∴把x₁=$\frac{128}{25}$代入y=$\frac{3}{4}$x，得y=$\frac{96}{25}$，
∴${P_2}（{\frac{128}{25}，\frac{96}{25}}）$；
（3）①如图3，当PQ⊥x轴，连接BQ

PQ=$\frac{3}{5}$at，PQ=$\frac{3}{4}$（8-t），
∴a=$\frac{40-5t}{4t}$，
∵△OPQ∽△BCQ，
∴$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{OQ}{CQ}$，即$\frac{\frac{3}{4}（8-t）}{3}$=$\frac{8-t}{t}$，解得t=4
a=$\frac{40-5t}{4t}$=$\frac{5}{4}$，
或$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{OQ}{BC}$即$\frac{\frac{3}{4}（8-t）}{t}$=$\frac{8-t}{3}$，解得t=$\frac{9}{4}$，
把t=$\frac{9}{4}$代入a=$\frac{40-5t}{4t}$，解得a=$\frac{115}{36}$，
∴∠OQP=90°时，$a=\frac{5}{4}或\frac{115}{36}$；
②如图4，当PQ⊥OD，

∵PQ=$\frac{3}{4}$at，PQ=$\frac{3}{5}$（8-t），
∴a=$\frac{32-4t}{5t}$，
∵△OPQ∽△BCQ，
∴$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{OP}{CQ}$，即$\frac{\frac{3}{4}at}{3}$=$\frac{at}{8-t}$，解得t=4，
把t=4代入a=$\frac{32-4t}{5t}$=$\frac{4}{5}$，
或$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{OP}{BC}$，即$\frac{\frac{3}{4}at}{t}$=$\frac{at}{3}$，解得t=$\frac{9}{4}$，
把t=$\frac{9}{4}$，代入a=$\frac{32-4t}{5t}$=$\frac{92}{45}$，
∴∠OPQ=90°时，$a=\frac{4}{5}或\frac{92}{45}$．

点评 本题主要考查了一次函数综合题，涉及一次函数中求点的坐标，等腰三角形的性质及相似三角形的性质，解题的关键是分不同情况解决问题．