Question

10．已知：CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在射线BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF=60°，另一边交射线CP于F．
（1）如图，若点D在线段BC上，求证：①∠BAD=∠CDF，②AD=FD；
（2）若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论还一定成立吗？若成立，请证明．

Answer 1

分析 （1）①先由等边三角形得：各内角为60°，再根据外角定理在△ABD中得：∠ADE=∠B+∠BAD，并由∠ADE在图形中分成的两角和得出∠BAD=∠CDF；
②利用外角平分线得：∠ACP=∠PCE=60°，证明A、D、C、F四点共圆，从而得出△ADF是等边三角形，所以AD=FD；
（2）第一个结论不一定正确，第二个结论一定正确，理由是：如图2，同理连接AF，根据角的和差得：∠BAD=60°+∠CAD，∠CDF=60°+∠ADC，而且而D是射线BC上任意一点；CD与AC不一定相等，只有相等时两角才相等；第二个结论与②同理得：A、C、D、F四点共圆，则△ADF 是等边三角形，所以AD=FD．

解答 证明：（1）如图1，①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠CDF+∠ADF，
∴∠B+∠BAD=∠CDF+∠ADF，
∵∠ADF=60°，
∴∠B=∠ADF，
∴∠BAD=∠CDF；
②连接AF，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACE=120°，
∵CP平分∠ACE，
∴∠ACP=∠PCE=60°，
∴∠ADF=∠ACP=60°，
∴A、D、C、F四点共圆，
∴∠AFD=∠ACB=60°，
∴∠ADF=∠AFD=60°，
∴∠DAF=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=FD；
（2）若点D在线段BC的延长线上，（1）中的第一个结论不一定正确，第二个结论一定正确，理由是：
如图2，连接AF，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠BAC=60°，
∴∠BAD=60°+∠CAD，
∵∠CDF=∠ADC+∠ADF，∠ADF=60°，
∴∠CDF=60°+∠ADC，
只有当∠CAD=∠ADC时，第一个结论正确，即∠BAD=∠CDF，而只有CD=AC时两角才相等；而D是射线BC上任意一点；
同（1）得：∠ADF=∠ACF=60°，
∴A、C、D、F四点共圆，
∴∠FAD=∠FCD=60°，
∴∠AFD=60°，
∴△ADF 是等边三角形，
∴AD=FD．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定及三角形的外角定理，知道等边三角形的三边相等，且各角为60°；本题多次运用了外角定理和角的和差关系得出角的大小关系；同时本题利用了四点共圆，若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，则四点共圆；本题也可以过D作DG∥AC，得出结论．