Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．

（1）求证：AE＝NE+ME；

（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．

猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）,见解析；（3）

【解析】

（1）如图1，过点N作NK⊥NE，交AE于点K．再证明△ANK≌△MNE得到，AK＝ME，NK＝NE，再根据正方形的性质即可证明；

（2）过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P．可得∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°，即四边形PCHF是矩形．再证明△ABE≌△EPF，可得BE＝PF，AB＝EP．即CP＝BE＝PF．可以说明矩形PCHF是正方形即可说明理由；

（3）延长FH交AC于点Q，由中位线定理可得出AQ＝2GH，由等腰直角三角形的性质可得出CQ＝GH即可．

（1）证明：如图1，过点N作NK⊥NE，交AE于点K．

∴∠KNE＝90°．

∵MN⊥AB，

∴∠MNA＝90°．

∴∠ANK＝∠MNE．

∵ME⊥AE，

∴∠AEM＝∠ANM＝90°．

∴∠NAK＝∠NME．

∵四边形ABCD是正方形，∠ANM＝90°．

∴∠MAN＝∠NMA＝45°．

∴AN＝MN．

在△ANK和△MNE中，

，

∴△ANK≌△MNE（ASA）．

∴AK＝ME，NK＝NE．

∴KE＝NE．

∴AE＝AK+KE＝ME+NE．

（2）解：CH＝FH，理由如下：

如图2，过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P．

∴∠P＝90°．

∵∠BAE+∠AEB＝∠FEP+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEP．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠BCD＝∠PCD＝90°，AB＝BC．

∵FH⊥CD，

∴∠FHC＝90°．

∴∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．

∴四边形PCHF是矩形．

在△ABE和△EPF中，

，

∴△ABE≌△EPF（AAS）．

∴BE＝PF，AB＝EP．

∵AB＝BC，

∴EP＝BC．

∴CP＝BE＝PF．

∴矩形PCHF是正方形．

∴FH＝CH．

（3）AC＝GH，理由如下：

如图3，延长FH交AC于点Q，

在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，

∵∠FHC＝90°，

∴∠HQC＝∠HCQ＝45°，

∴CH＝HQ，CQ＝CH，

∵CH＝FH，

∴HQ＝FH，

∵G是AF的中点，

∴GH＝AQ，

又∵GH＝CH，

∴CQ＝GH，

∴AC＝AQ+CQ＝2GH+GH＝（2+）GH．