Question

已知：将函数的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数图象．
（1）写出这个新的函数的解析式；
（2）若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于O，A两点，与直线交于C，B两点．试判断以A，B，C，O四点为顶点四边形形状，并说明理由；
（3）若（2）中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数的图象一部分，求满足条件的实数b的取值范围．

Answer 1

解：（1）y=x+2．

（2）四边形AOCB为菱形；理由如下：
由题意可得：AB∥CO，BC∥AO，AO=2，
∴四边形AOCB为平行四边形，易得A（0，2），B（-，1）；
由勾股定理可得：AB=2，
∴AB=AO，故平行四边形AOCB是菱形．


（3）二次函数y=x²-2bx+b²+化为顶点式为：y=（x-b）²+，
∴抛物线顶点在直线y=上移动；
假设四边形的边界可以覆盖到二次函数，则B点和A点分别是二次函数与四边形接触的边界点；
将B（-，1）代入二次函数，
解得b=--，b=-+（不合题意，舍去）；
将A（0，2）代入二次函数，
解得b=，b=-（不合题意，舍去）；
所以实数b的取值范围：--＜b＜．
分析：（1）根据“上加下减”的平移规律即可求得平移后的直线解析式．
（2）根据（1）题所得直线解析式，可求得A点坐标；易求得B、C的坐标，由于四边形OABC的对边都平行，因此四边形OABC首先是个平行四边形，根据A、B的坐标可求得AB=2=OA，由此可证得四边形OABC是菱形．
（3）将所给的抛物线解析式化为顶点式，可得：y=（x-b）²+，由于b值不确定，因此该函数的顶点在直线y=上左右移动；求四边形覆盖二次函数时b的取值范围，可考虑两种情况：
①当抛物线对称轴右侧图象经过点B时，b的值；
②当抛物线对称轴左侧图象经过点A时，b的值；
联立上述两种情况下b的取值即可求得实数b的取值范围．
点评：此题主要考查了函数图象的平移、平行四边形及菱形的判定、函数图象上点的坐标意义等知识，（3）题中，能够正确的判断出抛物线的移动范围是解决问题的关键．