Question

（2003•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，AB=4

5

，
（1）求证：CE=EF；
（2）求EG长．

Answer 1

分析：（1）根据AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD证明△ACE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF，
（2）因为∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式整理即可得到AC²=AE•AD，代入数据计算即可求出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长度为8，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EG=

1

2

BC．

解答：（1）证明：∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，

∠CAE=∠FAE AE=AE ∠AEC=∠AEF=90°

，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF；

（2）解：∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴

AC

AE

=

AD

AC

，
即AC²=AE•AD，
∵AE•AD=16，
∴AC²=16，
∴AC=4，
∴△ABC中，BC=

AB2-AC2

=8，
∵EG∥BC，
∴EG=

1

2

×8=4．

点评：本题主要考查两角对应相等，两三角形相似，相似三角形对应边成比例，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中．