Question

如图，正方形ＡＢＣＤ的边长是４，∠ＤＡＣ的平分线交ＤＣ于点Ｅ，点Ｐ、Ｑ分别是边ＡＤ和ＡＥ上的动点（两动点都不与端点重合）．
（１）ＰＱ＋ＤＱ的最小值是　　　　　　　；
（２）说出ＰＱ＋ＤＱ取得最小值时，点Ｐ、点Ｑ的位置，并在图８中画出；
（３）请对（２）中你所给的结论进行证明．

Answer 1

（１）　（２）过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ（３）证明见解析

解：（１）　；…………………………………………………………２分
（２）如图４，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足为Ｆ，………………………３分
ＤＦ与ＡＥ的交点即为点Ｑ；………………………………………………４分
过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ；……………………………………５分
（３）由（２）知，ＤＦ为等腰Ｒt△ＡＤＣ底边上的高，
∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分
∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ为ＡＥ上的点，
且ＱＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于点Ｐ，
∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分线性质定理），……………………………………７分
∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．
下面证明此时的ＰＱ＋ＤＱ为最小值：
在ＡＥ上取异于Ｑ的另一点Ｑ_１（图5）．…………………………………９分
①过Ｑ_１点作Ｑ_１Ｆ_１⊥ＡＣ于点Ｆ_１，………………………………………１０分
过Ｑ_１点作Ｑ_１Ｐ_１⊥ＡＤ于点Ｐ_１，…………………………………………１１分
则Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＝Ｆ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１，
由“一点到一条直线的距离”，可知，垂线段最短，
∴得Ｆ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＦＱ＋ＤＱ，
即Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分
②若Ｐ_２是ＡＤ上异于Ｐ_１的任一点，………………………………………１３分
可知斜线段Ｐ_２Ｑ_１＞垂线段Ｐ_１Ｑ_１，………………………………………１４分
∴Ｐ_２Ｑ_１＋ＤＱ_１＞Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＰＱ＋ＤＱ．
从而可得此处ＰＱ＋ＤＱ的值最小．
此题考核正方形的性质，利用垂线段最短求证最小值