Question

如图所示，四边形EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积是5．求正方形ABCD的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：

分析：过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，构造矩形PQRT．利用勾股定理求的正方形ABCD的边长，然后由S_△AEH=S_△TEH，S_△BEF=S_△PEF，S_△GFC=S_△QFG，S_△DGH=S_△RGH推知（EG²+FH²-4S）a²=EG²FH²-4S²．

解答：解：过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，得矩形PQRT．
设正方形ABCD的边长为a，PQ=b，QR=c，
∵EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积是5，
∴b=

EG2-a2

=

9-a2

，c=

FH2-a2

=

16-a2

，
由S_△AEH=S_△TEH，
S_△BEF=S_△PEF，S_△GFC=S_△QFG，S_△DGH=S_△RGH
得S_ABCD+S_PQRT=2S_{四边形EFGH}，
∴a²+bc=2S，即a²+

9-a2

•

16-a2

=2S_{四边形EFGH}，
又∵四边形EFGH的面积是5，
∴a²+

9-a2

•

16-a2

=10，
解得，a²=

44

5

，即正方形ABCD的面积是

44

5

．

点评：本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理．此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质．