Question

17．如图，抛物线y=x²-2x-3与坐标轴交于A，B，C三点，点P为抛物线上一点，OE⊥PB于E，∠PEC=45°，求P点坐标．

Answer 1

分析 连接BC，设OD=b，构建相似三角形，先根据二次函数的解析式求出A、B、C的坐标，根据同角的三角函数得：$\frac{DE}{OD}=\frac{OD}{BD}$，表示DE=$\frac{{b}^{2}}{BD}$，再利用两角对应相等证明△CDE∽△BDC，得$\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{DC}$，列方程求出b的值，写出
D（0，-$\frac{3}{2}$），注意点D在y轴的负半轴，纵坐标为负数；接着求直线PB的解析式，与二次函数解析式组成方程组，求方程组的解，一个是点B的坐标，另一个即是点P的坐标．

解答 解：连接BC，设BP交y轴于点D，OD=b，
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），OC=3，
当y=0时，x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OB=3，
∵OE⊥PB，
∴∠OED=90°，
∴∠ODE+∠DOE=90°，
∵∠DOB=90°，
∴∠ODE+∠OBD=90°，
∴∠DOE=∠OBD，
∴sin∠DOE=sin∠OBD，
$\frac{DE}{OD}=\frac{OD}{BD}$，
∴$\frac{DE}{b}=\frac{b}{BD}$，
∴DE=$\frac{{b}^{2}}{BD}$，
在Rt△BOC中，OC=OB，
∴∠OCB=45°，
∵∠PEC=45°，
∴∠OCB=∠PEC，
∵∠CDE=∠CDB，
∴△CDE∽△BDC，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{DC}$，
∴$\frac{3-b}{BD}=\frac{\frac{{b}^{2}}{BD}}{3-b}$，
∴（3-b）²=b²，
b=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，-$\frac{3}{2}$），
设直线PB的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0）和D（0，-$\frac{3}{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{1}{2}}\\{{y}_{2}=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）．

点评 本题是二次函数与坐标轴的交点问题，考查了函数图象与两坐标轴交点坐标的求法：①与x轴交点→令y=0，②与y轴交点→令x=0，还考查了利用两点坐标求一次函数的解析式：①设直线解析式为：y=kx+b，②把两点的坐标代入列二元一次方程组，③解方程组即可；在函数中常利用相似或三角函数列比例式求线段的长，从而得出点的坐标．