Question

9．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x²+2mx+n（m＜0、n＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=$\frac{1}{2}$AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（-2，1）
①求m，n的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）若四边形AOBD是平行四边形，求m与n的关系；
（3）是否存在n，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出m、n的值；
②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；
（2）过D点作DE⊥AB于点E，根据已知条件和平行四边形的性质求得D（m，m²+n），代入解析式即可求得．
（3）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即$\frac{BC}{OB}$=$\frac{OB}{AB}$，再根据勾股定理可得OC=$\sqrt{2}$BC，AC=$\sqrt{2}$OC，可求得横坐标为±$\sqrt{2}$n，纵坐标为n，代入解析式即可求得．

解答 解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（-2，1）．
∴点C的坐标是（0，1）
把A、C两点的坐标代入y=-x²+2mx+n得，
$\left\{\begin{array}{l}{1=-4-4m+n}\\{1=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$；
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
由①得抛物线的解析式为y=-x²-2x+1，
∴顶点D的坐标为（-1，2），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=1，AE=1，
∵AC=2，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴AE=BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．

（2）过D点作DE⊥AB于点E，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD=OB，
∵AC∥x轴，
∴∠BCO=90°，
∴∠AED=∠BCO，
∴△AED≌△BCO，
∴DE=OC，
∴D的纵坐标等于A的纵坐标的2倍，
∵y=-x²+2mx+n=-（x-m）²+m²+n，
∴D（m，m²+n），
∴A（2m，$\frac{{m}^{2}+n}{2}$），
代入y=-x²+2mx+n得，$\frac{{m}^{2}+n}{2}$=-4m²+4m²+n，
解得n=m²．
（3）存在；
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴$\frac{BC}{OB}$=$\frac{OB}{AB}$，
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB=$\sqrt{3}$BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=$\sqrt{2}$BC，AC=$\sqrt{2}$OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC=n，
∴A点坐标为（±$\sqrt{2}$n，n），
∴顶点横坐标m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$n，
顶点D纵坐标是点A纵坐标的2倍，为2n，
顶点D的坐标为（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$n，2n）
∵将D点代入可得2n=-（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$n）²+2×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$n）²+n，
解得：n₁=2，n₂=0（舍去），
∴n=2．

点评 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用等，求得D的坐标是解题的关键．