分析 (1)作DF∥AB,可证△≌BDF△EDC,可得BF=CE,再证AD=BF即可解题;
(2)先构造出△BFG≌△DFA得出BG=AD,进而得出BG=CE,再用SAS判断出△ABG≌△ACE即可得出结论;
(3)先用含30°角的直角三角形的性质,求出AF,进而求出AE,最后用EH=AE-AH即可得出结论.
解答 解:(1)如图1,作DF∥AB,
∵DF∥AB,
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{CD}{AC}$,
∵AC=BC,
∴CF=CD,
∴BF=AD,
∵DF∥AB,
∴∠DFC=60°,
∴∠BFD=120°,
∵BD=DE,
∴∠E=∠DBE,
在△BDF和△EDC中,$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠DCE}\\{∠E=∠DBE}\\{BD=DE}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△EDC,(AAS)
∴BF=CE,
∴AD=CE,
(2)如图2,
过点B作BG∥AC交AF的延长线于G,
∴∠G=∠DAF,∠CBG=∠ACB=60°,
∴∠ABG=∠ABC+∠CBG=120°=∠ACE,
∵点F是BD中点,
∴BF=DF,
在△BFG和△DFA中,$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DAF}\\{∠BFG=∠DFA}\\{BF=DF}\end{array}\right.$,
∴△BFG≌△DFA,
∴BG=AD,
由(1)知,AD=CE,
∴BG=CE,
在△ABG和△ACE中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABG=∠ACE}\\{BG=CE}\end{array}\right.$,
∴△ABG≌△ACE,
∴∠BAF=CAE;
(3)由(2)知,∠BAF=∠CAE,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠FAC+∠BAF=∠BAC=60°,
∵FH⊥AE,
∴∠AHF=90°,
∴∠AFH=90°-∠FAE=30°,
在Rt△AFH中,AH=$\sqrt{3}$,
∴AF=2$\sqrt{3}$,
由(2)知,△BFG≌△DFA,
∴GF=AF=2$\sqrt{3}$,
由(2)知,△ABG≌△ACE,
∴AE=AG=2AF=4$\sqrt{3}$,
∴EH=AE-AH=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$.
点评 此题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,含30°角的直角三角形的性质,解本题的关键是构造出△BFG≌△DFA,是一道比较简单的中考常考题.
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A. | 44° | B. | 34° | C. | 22° | D. | 12° |
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