Question

5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点P是直线AC上一个动点，连结BP，过点B作BQ⊥BP，且使BP=BQ，连结AQ且与直线BC相交于点D．若AP=2，AC=5，则BD的长为4或6．

Answer 1

分析 ①当点P在边AC上时，先判断出△ABP≌△A'BQ得出A'Q=AP=2，再判断出A'Q∥BC，利用三角形的中位线即可求出CD，即可；
②当点P在边CA的延长线上时，同①方法即可．

解答 解：①当点P在边AC上时，如图1，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
延长AC至A'使A'C=AC，连接A'B，
∵∠ACB=90°，
∴AB=A'B=5，
∴∠BAC=∠BA'C=45°，∠ABC=∠A'BC=45°，
∴∠AB'A=90°，
∴∠ABP+∠A'BP=90°，
∵BQ⊥BP，
∴∠A'BQ+∠A'BP=90°，
∴∠ABP=∠A'BQ，
在△ABP和△A'BQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=A'B}\\{∠ABP=∠A'BQ}\\{BP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△A'BQ，
∴A'Q=AP=2，∠BA'Q=∠BQC=45°，
∴∠AA'Q=∠BA'C+∠BA'Q=90°=∠ACB，
∴BC∥A'Q，
∵AC=A'C，
∴CD=$\frac{1}{2}$A'Q=1
，∵BC=AC=5，
∴BD=4，
②当点P在边CA的延长线时，如图2，

同①方法，得，CD=1，
∴BD=BC+CD=6，
即：BD的长为4或6，
故答案为：4或6．

点评 此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中位线，解本题的关键是构造全等三角形．