分析 (1)连接DE,如图,由对称性可得AE=DE,要证BF=AE,只需证BF=DE,只需证△BCF≌△DCE即可;
(2)由∠AEG=30°可推出∠CBF=30°,运用三角函数可得到BN与BM的关系、AG与AE的关系、易得AG=BM,从而得到BN与AE的关系,再结合(1)中的结论BF=AE就可解决问题.
解答 解:(1)连接DE,如图.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD=CB,∠BCD=90°.
∵∠ECF=90°,
∴∠BCD=∠ECF,
∴∠BCF=∠DCE.
在△BCF和△DCE中,
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠BCF=∠DCE}\\{CB=CD}\end{array}\right.$,
∴△BCF≌△DCE,
∴BF=DE.
∵GM是正方形ABCD的对称轴,
∴AE=DE,
∴BF=AE;
(2)∵GM是正方形ABCD的对称轴,
∴AG=$\frac{1}{2}$AD,BM=$\frac{1}{2}$BC,∠DEG=∠AEG,GM∥DC.
∵AD=BC,∴AG=BM.
∵∠AEG=30°,∴∠DEG=30°.
∵GM∥DC,∴∠CDE=∠DEG=30°.
∵△BCF≌△DCE,
∴∠CBF=∠CDE=30°.
在Rt△AGE中,sin∠AEG=$\frac{AG}{AE}$=$\frac{1}{2}$,
∴AE=2AG=2BM,
∴BF=AE=2BM.
在Rt△BMN中,cos∠CBF=$\frac{BM}{BN}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴BN=$\frac{2BM}{\sqrt{3}}$=$\frac{BF}{\sqrt{3}}$,
∴$\frac{BN}{BF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称图形的性质、三角函数等知识,证到△BCF≌△DCE是解决第(1)小题的关键,利用(1)中的结论BF=AE是解决第(2)小题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1.2×105 | B. | 1.2×106 | C. | 1.2×107 | D. | 1.2×108 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -3a+2c | B. | -a-ab-2c | C. | a-2b | D. | 3a |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | y1>y2 | B. | y1<y2 | C. | 当x1<x2时,y1>y2 | D. | 当x1<x2时,y1<y2 |
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