Question

【题目】在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=8cm,如图①，点E,H从点A开始向B,D运动，同时点F,G从点C向B,D运动，运动速度都为1cm/秒，运动时间为t秒（0≤t<8）.

（1）当运动时间t=4时，求证：四边形EFGH为矩形；

（2）当t等于多少秒时，四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的；

（3）如图②，连接HF,BG，当t等于多少秒时，HF⊥BG.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) t=;(3)t=4.

【解析】

（1）根据t=4时，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，可证四边形EFGH为矩形；

（2）先证明四边形EFGH为矩形，然后根据∠ADB=60°求出HG=，由四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的列方程求解即可；

（3）延长GF,过点B作BM⊥FG交点M，由（2）可知，FG=t， HG=，证明∽，根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，在含30°的直角三角形BMF中求出BM、FM，代入比例式即可求出t值.

解：（1）连接AC、BD，如图:

当t=4时，AE=AH=CF=CG=4

在菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD=8，AC⊥BD

E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点

EH∥BD,FG∥BD,EF∥AC,HG∥AC

EH∥FG,EF∥HG EH∥BD,FG∥BD

四边形EFGH为平行四边形

EH∥BD,EF∥AC，AC⊥BD

EH⊥RF

四边形EFGH为矩形；

（2）由(1)中图可知AE=AH=CF=CG=t，则BE=DH=BF=DG=8-t

在菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD=8，AC⊥BD，∠A=60°，

EH=t，∠ADB=60°，

，∠A=∠A ，

EH∥BD

同理可得：FG∥BD，EF∥AC,HG∥AC，

EH∥FG,EF∥HG，

EH∥BD,FG∥BD

四边形EFGH为平行四边形

EH∥BD,EF∥AC，AC⊥BD，

EH⊥EF,

四边形EFGH为矩形，

∠ADB=60°,BD⊥HG，

HG=

四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的，

t·=··8·

解得 t=，

当t=时，四边形EFGH面积是菱形ABCD面积的；

（3）延长GF,过点B作BM⊥FG交点M，

由（2）可知，FG=t，BF=8-t，HG=，四边形EFGH为矩形,HF⊥BG

∠FHG+∠HFG=90°,∠FGB+∠HFG=90° ∠FHG=∠FGB

又∠FGH=∠FMB，

∽

，

化简得

解得t=4或t=24（舍去）

当t=4时，HF⊥BG.