【题目】如图放置的两个正方形,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),M在BC边上,且BM=b,连接AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将△MEF绕点F旋转至△NGF,给出以下五个结论:①∠MAD=∠AND;②CP=b﹣ ;③△ABM≌△NGF;④S四边形AMFN=a2+b2;⑤A,M,P,D四点共圆,其中正确的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】D
【解析】解:①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°,
∴∠BAM+∠DAM=90°,
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN,
∴∠NAD=∠BAM,∠AND=∠AMB,
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°,
∴∠DAM=∠AND,故①正确;②∵四边形CEFG是正方形,
∴PC∥EF,
∴△MPC∽△EMF,
∴ ,
∵大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),BM=b,
∴EF=b,CM=a﹣b,ME=(a﹣b)+b=a,
∴ ,
∴CP=b﹣ ;故②正确;③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF,
∴GN=ME,
∵AB=a,ME=a,
∴AB=ME=NG,
在△ABM与△NGF中, ,
∴△ABM≌△NGF;故③正确;④
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN,
∴AM=AN,
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF,
∴NF=MF,
∵△ABM≌△NGF,
∴AM=NF,
∴四边形AMFN是矩形,
∵∠BAM=∠NAD,
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°,
∴∠NAM=90°,
∴四边形AMFN是正方形,
∵在Rt△ABM中,a2+b2=AM2 ,
∴S四边形AMFN=AM2=a2+b2;故④正确;⑤∵四边形AMFN是正方形,
∴∠AMP=90°,
∵∠ADP=90°,
∴∠ABP+∠ADP=180°,
∴A,M,P,D四点共圆,故⑤正确.
故选D.
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【题目】下列命题:①对顶角相等;②同位角相等,两直线平行;③若|a|=|b|,则a=b;④若x=2,则2|x|-1=3.以上命题是真命题的有( ).
A. ①②③④ B. ①④ C. ②④ D. ①②④
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【题目】两组邻边相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中 AB=CB,AD=CD,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:① ACBD;②AOCOAC;③△ABD≌△CBD;④四边形ABCD的面积=ACBD,其中,正确的结论有_____.
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【题目】如图,已知⊙O的直径AB=12,弦AC=10,D是 的中点,过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求AE的长.
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【题目】如图,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC平分∠BAD且与EF交于点O,那么图中与∠AOE相等的角有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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【题目】某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为 .
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【题目】某同学在平时的练习中,遇到下面一道题目:
如图,∠AOC=90°,OE 平分∠BOC,OD平分∠AOB.
①若∠BOC=60°,求∠DOE 度数;
②若∠BOC=α(0<α<90°),其他条件不变,求∠DOE 的度数.
(1)下面是某同学对①问的部分解答过程,请你补充完整.
∵OE 平分∠BOC,∠BOC=60°
∴∠BOE= . (角平分线的定义)
∵∠AOC=90°,∠BOC=60°
∴ ,
∵OD 平分∠AOB,
∴ ,(角平分线的定义)
∴∠DOE= .
(注:符号∵表示因为,用符号∴表示所以).
(2)仿照①的解答过程,完成第②小题.
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【题目】已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,AE=BE.
(1)求∠B的度数;
(2)如果AC=3cm,CD=cm,求△ABD的面积.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的角平分线,DF∥AB交AE延长线于F,则DF的长为 .
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