Question

11．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，-2）、点B（3m，4m+1）（m≠-1），点C（6，2），则对角线BD的最小值是6．

Answer 1

分析 先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=$\frac{4}{3}$x+1上，所以当BD⊥直线y=$\frac{4}{3}$x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH²=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．

解答 解：如图，∵点B（3m，4m+1），
∴令$\left\{\begin{array}{l}{3m=x}\\{4m+1=y}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{4}{3}$x+1，
∴B在直线y=$\frac{4}{3}$x+1上，
∴当BD⊥直线y=$\frac{4}{3}$x+1时，BD最小，
过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，
∵BE在直线y=$\frac{4}{3}$x+1上，且点E在x轴上，
∴E（-$\frac{3}{4}$，0），G（0，1）
∵F是AC的中点
∵A（0，-2），点C（6，2），
∴F（3，0）
在Rt△BEF中，
∵BH²=EH•FH，
∴（4m+1）²=（3m+$\frac{3}{4}$）（3-3m），
解得：m₁=-$\frac{1}{4}$（舍），m₂=$\frac{1}{5}$，
∴B（$\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴BD=2BF=2×$\sqrt{（3-\frac{3}{5}）^{2}+（\frac{9}{5}）^{2}}$=6，
则对角线BD的最小值是6；
故答案为：6．

点评 本题考查了平行四边形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、射影定理或三角形相似、图形与坐标特点、勾股定理，本题利用B的坐标确定点B所在的直线的解析式是关键．