Question

（2006•资阳）（1）填空：如图1，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM=______度；
（2）如图2，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60度．以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正方形的性质容易得到全等条件证明△PSN≌△SRM，然后利用全等三角形的性质就可以得到∠POM=90°．
（2）根据已知条件构造命题要抓住它们的相同的地方，有三条邻边相等，并且已知一个角．命题的证明主要利用题目的已知条件证明△DCE≌△ADF，然后利用全等三角形的性质证明结论．
解答：解：（1）90，（2分）
∵QM=RN，
∴RM=SN，
∵∠PSN=∠SRM=90°，SP=SR，
∴△PSN≌△SRM，
∴∠SPN=∠RSM，
∵∠RSM+∠MSP=90°，
∴∠POM=90°

（2）构造的命题为：
已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=CD，∠ABC=60°，若点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接AF、DE相交于G，则∠AGE=120°．（4分）

证明：由已知，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=DA，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠C=120°，
∵BC=CD，BE=CF，
∴CE=DF；（5分）
在△DCE和△ADF中，
∴△DCE≌△ADF（SAS），
∴∠CDE=∠DAF，（7分）
又∠DAF+∠AFD=180°-∠ADC=60°，
∴∠CDE+∠AFD=60°，
∴∠AGE=∠DGF=180°-（∠CDE+∠AFD）=180°-60°=120°．（8分）
点评：此题是开放性试题，考查学生对正方形，梯形的性质及全等三角形的判定的综合运用．