Question

（1）如图，AD是△ABC的角平分线，求证：

AB

AC

=

BD

CD

．
（2）如果AD是外角平分线，上面的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请探究会有什么结论．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：探究型

分析：（1）证明过C点作CE∥AD交BA的延长线于E，如图1，根据平行线的性质得到∠1=∠E，∠2=∠3，再利用AD是△ABC的角平分线得到∠1=∠2，则∠E=∠3，所以AE=AC，然后根据平行线分线段成比例定理得

BA

AE

=

BD

CD

，再利用等线段代换即可得到结论；
（2）过C点作CE∥AD交AB于E，如图2，证明方法与（1）一样可得到

AB

AC

=

BD

CD

．

解答：（1）证明：过C点作CE∥AD交BA的延长线于E，如图1，
∵CE∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠E=∠3，
∴AE=AC，
∵AD∥CE，
∴

BA

AE

=

BD

CD

，
∴

AB

AC

=

BD

CD

；
（2）解：上面的结论成立．理由如下：
过C点作CE∥AD交AB于E，如图2，
∵CE∥AD，
∴∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=EC，
∵AD∥CE，
∴

BA

AE

=

BD

CD

，
∴

AB

AC

=

BD

CD

．

点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．