Question

12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（-8，8），B（-8，0），C（0，8），连结AB，AC，若画出含边长为5的等腰三角形，A为顶角的顶点，另外两个顶点在折线AB-BO-OC-CA上，则等腰三角形的面积为$\frac{5}{2}$或20$\sqrt{2}$-$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 分两种情况：
①若5为腰，如图1，AE=AF=5，代入面积公式可求得等腰△AEF的面积；
②若5为底边，如图2，EF=5，分别求AO和OG，则AG=AO-OG=8$\sqrt{2}$-$\frac{5}{2}$，代入面积公式可求得等腰△AEF的面积．

解答 解：∵A（-8，8），B（-8，0），C（0，8），
∴AB=BO=OC=AC=8，
∴四边形ABOC为菱形，
∵∠BOC=90°，
∴菱形ABOC为正方形，
分两种情况：
①若5为腰，如图1，AE=AF=5，
S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$；
②若5为底边，如图2，EF=5，
连接AO，交EF于G，
∵AC=AB，AE=AF，∠ABO=∠ACO=90°，
∴Rt△ABE≌△Rt△ACF（HL），
∴∠BAE=∠FAC，BE=CF，
∵OB=OC，
∴OE=OF，
∵四边形ABOC是正方形，
∴∠BAO=∠OAC=45°，
∴∠EAG=∠FAG，
∴AG⊥EF，EG=FG，
由勾股定理得：AO=$\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
OG=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{5}{2}$，
∴AG=AO-OG=8$\sqrt{2}$-$\frac{5}{2}$，
S_△AEF=$\frac{1}{2}$EF•AG=$\frac{1}{2}$×5×（8$\sqrt{2}$-$\frac{5}{2}$）=20$\sqrt{2}$-$\frac{25}{4}$；
则等腰三角形的面积为$\frac{5}{2}$或20$\sqrt{2}$-$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质，明确等边对等角，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，本题采用了分类讨论的思想，根据图形及坐标表示线段的长，代入面积公式即可求其面积．