Question

【题目】已知：在正方形ABCD中，AB＝3，E是边BC上一个动点（点E不与点B，点C重合），连接AE，点H是BC延长线上一点．过点B作BF⊥AE，交AE于点G，交DC于点F．

（1）求证：AE＝BF；

（2）过点E作EM⊥AE，交∠DCH的平分线于点M，连接FM，判断四边形BFME的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，∠EMC的正弦值为，求四边形AGFD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形BFME是平行四边形，见解析；（3）S四边形ADFG＝.

【解析】

（1）结合正方形的性质证△ABE≌△BCF即可；

（2）要证四边形BFME是平行四边形，由（1）知△ABE≌△BCF（ASA）且AE＝BF，若能证AE=EM，则BF=EM，只需再证BF∥EM即可，因此为证AE=EM，可构造以AE为边的三角形使其与△ECM全等，可在AB上截取BN＝BE，构造三角形AEN，进行证明即可;

（3）如图2，连接BD，过点F作FN⊥BD于点N，由正方形、平行线及角平分线的性质可知∠EMC＝∠DBF，所以sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝，设NF＝a，BF＝10a，由正方形的性质，可知BD,ND长，BN=BD-ND,在直角三角形BNF中BF2﹣NF2＝BN2，据此求出a的值，即知NF，BF长，同样，DF,FC，BE,EC的长也能求出，再由△BGE∽△BCF求出 BG，GE长，此时，可求出四边形ADEC，ECFG的面积，作差即得四边形AGFD的面积.

解：证明：（1）∵在正方形ABCD中，

∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，

∵∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBF+∠ABF＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，

∴△ABE≌△BCF（ASA）

∴AE＝BF，

（2）四边形BFME是平行四边形

理由如下：如图1：在AB上截取BN＝BE，

∵△ABE≌△BCF

∴∠BAE＝∠FBC

∵AB＝BC，BN＝BE，

∴AN＝EC，∠BNE＝45°

∴∠ANE＝135°

∵CM平分∠DCH

∴∠DCM＝∠MCH＝45°

∴∠ECM＝135°＝∠ANE

∵AE⊥EM

∴∠AEB+∠MEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°

∴∠BAE＝∠MEC，且AN＝EC，∠ANE＝∠DCM

∴△ANE≌△ECM（SAS）

∴AE＝EM，∠BAE＝∠MEC

∴∠BAE＝∠FBC＝∠MEC

∴BF∥EM，且BF＝AE＝EM

∴四边形BFME是平行四边形

（3）如图2，连接BD，过点F作FN⊥BD于点N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝3，∠DBC＝∠BDC＝45°，

∴BD＝3，∠DBF+∠FBC＝45°

∵∠MCH＝∠MEC+∠EMC＝45°，∠FBC＝∠MEC

∴∠EMC＝∠DBF

∴sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝

∴设NF＝a，BF＝10a，

∵∠BDC＝45°，FN⊥BD

∴DN＝NF＝a，DF＝NF＝2a

∴BN＝3﹣a

∵BF2﹣NF2＝BN2，

∴98a2＝（3﹣a）2，

∴a＝

∴DF＝2×＝

∴FC＝

∵△ABE≌△BCF

∴BE＝CF＝，

∴EC＝，BF＝＝

∵∠FBC＝∠FBC，∠BGE＝∠BCF

∴△BGE∽△BCF

∴

∴

∴BG＝，GE＝

∴S四边形ADFG＝S四边形ADEC﹣S四边形ECFG，

∴S四边形ADFG＝