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    （2011•梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
    （1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=
    a
    a
    ；（直接写结果）
    （2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；
    （3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
    分析：（1）设AP的长是x，然后利用x表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得x的值；
    （2）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
    （3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．
    解答：解：（1）设AP的长是x，则BP=2a-x，
    ∴S△APC+S△PBD=
    1
    2
    x•
    		3
    2
    x+
    1
    2
    （2a-x）•
    		3
    2
    （2a-x）
    =
    		3
    2
    x2-
    		3
    ax+
    		3
    a2，
    当x=-
    b
    2a
    =-
    -
    		3
    a
    2×
    		3
    2
    =a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，
    故答案为：a；

    （2）α的大小不会随点P的移动而变化，
    理由：∵△APC是等边三角形，
    ∴PA=PC，∠APC=60°，
    ∵△BDP是等边三角形，
    ∴PB=PD，∠BPD=60°，
    ∴∠APC=∠BPD，
    ∴∠APD=∠CPB，
    ∴△APD≌△CPB，
    ∴∠PAD=∠PCB，
    ∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
    ∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
    ∴∠AQC=180°-120°=60°；

    （3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．
    理由：∵△APC是等边三角形，
    ∴PA=PC，∠APC=60°，
    ∵△BDP是等边三角形，
    ∴PB=PD，∠BPD=60°，
    ∴∠APC=∠BPD，
    ∴∠APD=∠CPB，
    ∴△APD≌△CPB，
    ∴∠PAD=∠PCB，
    ∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
    ∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
    ∴∠AQC=180°-120°=60°．
    点评：本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键．
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    30
    30
    °．

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    45
    45
    °；
    （2）顶点A从开始到A1经过的路径长为
    3
    		2
    π
    3
    		2
    π
    ；
    （3）点B1的坐标为
    （2
    		2
    ，2
    		2
    ）
    （2
    		2
    ，2
    		2
    ）
    ．

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