【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,以边AB为直径的⊙O经过点C,E是⊙O上的一点,且∠BEC=45°.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BE=8cm,sin∠BCE= ,求⊙O的半径.
【答案】(1)相切,详见解析;(2)⊙O的半径为5 cm.
【解析】
(1)连接OC,根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BEC=90°,再根据平行四边形的性质可得AB∥CD,则∠OCD=∠BOC=90°,然后根据切线的判定定理即可得到CD与⊙O相切;
(2)连接AE,根据圆周角定理及其推论得∠AEB=90°,∠EAB=∠BCE,而sin∠BCE=,则sin∠EAB=,根据三角函数的定义易求出AB,即可得到圆的半径.
解:(1)相切.理由如下:
连接OC,如图,
∵∠BEC=45°,
∴∠BOC=90°,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∴∠OCD=∠BOC=90°,
∴OC⊥CD.
∴CD为⊙O的切线;
(2)连接AE,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵∠EAB=∠BCE,sin∠BCE=,
∴sin∠EAB=,
∴=,
∵BE=8,
∴AB=10,
∴AO=AB=5,
∴⊙O的半径为5 cm.
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【题目】如图,已知△ABC的三个顶点坐标如下表:
(1)将下表补充完整,并在直角坐标系中,画出△A′B′C′;
(x,y) | (2x,2y) |
A(2,1) | A′(4,2) |
B(4,3) | B′( ) |
C(5,1) | C′( ) |
(2)观察两个三角形,可知△ABC∽△A′B′C′两个三角形的是以原点为位似中心的位似三角形,△ABC与△A′B′C′的位似比为 .
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则下列结论:①4ac﹣b2<0;②2a﹣b=0;③a+b+c<0;④点M(x1,y1)、N(x2,y2)在抛物线上,若x1<x2,则y1≤y2,其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程.
已知:△ABC.
求作:△ABC中BC边上的高线AD.
作法:如图,
①以点B为圆心,BA的长为半径作弧,以点C为圆心,CA的长为半径作弧,两弧在BC下方交于点E;
②连接AE交BC于点D.
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵ =BA, =CA,
∴点B,C分别在线段AE的垂直平分线上( )(填推理的依据).
∴BC垂直平分线段AE.
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC、BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交⊙O于点H,连接BD、FH.
(1)求证:△HGF∽△HFB;
(2)求证:BD=EF;
(3)连接HE,若AB=2,求△HEF的面积.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,DE交AC于点E,且∠A=∠ADE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AD=16,DE=10,求BC的长.
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【题目】某校计划组织师生共310人参加一次野外研学活动,如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满.已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个.
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数;
(2)由于最后参加活动的人数增加了20人,学校决定调整租车方案,在保持租用车辆总数不变的情况下,为将所有参加活动的师生装载完成,求租用小客车数量的最大值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,∠B=30°,∠BAC=80°,且BC+AC=12cm,①求∠CAE的度数;②求△AEC的周长。
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【题目】(2017浙江省温州市)如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称(点A′和A,B′和B分别对应).若AB=1,反比例函数(k≠0)的图象恰好经过点A′,B,则k的值为______.
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