Question

【题目】如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．

（1）求证：AE＝AB．

（2）填空：

①当∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2时，边BC的长为　 　．

②当∠BAE＝　 　时，四边形AOED是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①3；②60°

【解析】

（1）利用折叠的性质得出AC=AE，∠C=∠AED，再判断出∠C=∠ABC，得出AB=AC，即可得出结论；

（2）①先求出EF=1，再判断出∠AEB=∠ADB，利用锐角三角函数求出AE，进而求出AB，即可得出结论；

②先判断出△AOD是等边三角形，得出∠ADO=60°，进而求出∠ADE=120°，再求出∠C=∠ABC=∠DAC=30°，即可求出∠BAC=120°，利用折叠的性质求出∠CAE=60°，即可得出结论．

（1）证明：由折叠知，AC＝AE，∠C＝∠AED，

∵∠ABC＝∠AED，

∴∠C＝∠ABC，

∴AB＝AC，

∴AE＝AB；

（2）①如图1，过点A作AF⊥BE于F，

由（1）知，AE＝AB，

∴EF＝BE＝1，

∵∠ADB＝∠AEB，cos∠ADB＝，

∴cos∠AEB＝，

在Rt△AFE中，cos∠AEB＝＝，

∴AE＝3EF＝3，

由（1）知，AE＝AB，

∴AB＝3，

由（1）知，AB＝AC，

∵∠CAB＝90°，

∴BC＝AB＝3，

故答案为3；

②如图2，

∵四边形AOED是菱形，

∴DE＝OA＝AD，

连接OD，

∴OA＝OD，

∴AD＝OA＝OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠ADO＝60°，

同理：∠ODE＝60°，

∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝120°，

由折叠知，CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，

∴∠ADC＝120°，

∵AD＝DE，

∴CD＝AD，

∴∠DAC＝∠C＝（180°﹣∠ADC）＝30°，

由（1）知，∠ABC＝∠C，

∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝120°，

由折叠知，∠DAE＝∠DAC＝30°，

∴∠CAE＝∠DAC+∠DAE＝60°，

∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝60°，

故答案为60°．