Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的相交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C，且S_△BOC=．
（1）求抛物线和直线BC的函数解析式；
（2）设P直线BC上的动点、Q是抛物线上的动点．问：是否存在以C、P、Q为顶点的三角形，使得它与△BOC相似？若存在，请直接写出线段PQ的长；若不存在，请说明理由；
（3）在上述条件下，把直线BC绕C旋转．当直线与抛物线只有一个公共点时，求OP的最小值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴的相交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C；
∴OB=3，OC=c，-3²+3b+c=0，
∵S_△BOC=OB•OC=，
∴c=3，b=2；
∴抛物线的函数解析式为：y=-x²+2x+3；
设直线BC的函数解析式为y=kx+m，
则，
∴
∴直线BC的函数解析式为y=-x+3．

（2）由于OB=OC=3，则△OBC是等腰直角三角形，
若C、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似，则△CPQ也必为等腰直角三角形，
①过C作直线CQ⊥BC，交抛物线于Q；
易知C（0，3），且直线BC：y=-x+3；
故直线CQ：y=x+3，联立抛物线的解析式有：
，
解得，；
故Q（1，4），CQ=；
则PQ=CQ=2；
②过C作直线CQ∥x轴，交抛物线于Q；
则Q（2，3），CQ=2；
当Q为直角顶点时，PQ=CQ=2；
当P为直角顶点时，PQ=CQ=；
综上可知：存在以C、P、Q为顶点的三角形，使得它与△BOC相似；PQ的长为：PQ=或2．

（3）OP=1．
在上述条件下，把直线BC绕C旋转；当直线与抛物线只有一个公共点时，则公共点为C（0，3）（有两种情况）
①直线BC与y轴重合时，显然，OP=1；
②直线BC与y轴重合时，设直线BC绕C旋转后的直线B′C函数解析式为：（B′为直线B′C与x轴的交点）y=kx+3，
把y=kx+3代入y=-x²+2x+3中得：
kx+3=-x²+2x+3，
整理得x²+（k-2）x=0，
∴△=（k-2）²=0，
∴k=2，
∴设直线B′C的函数解析式为：y=2x+3；
令y=0，则2x+3=0，得x=，
∴B′（，0），
∴OB′=；
作OP⊥CB′于点P，此时OP的值最小；
此时，CB′•OP=OB′•OC，
∵OB′=，OC=3，
CB′=，
∴OP=；
综上得，OP=1．
分析：（1）已知了B点坐标，即可求出OB的长，根据△BOC的面积可求得OC的长，即可得到点C的坐标，进而可利用待定系数法求得直线BC和抛物线的解析式．
（2）由（1）知：OB=OC=3，即∠OCB=45°，若△CPQ与△BOC相似，那么△CPQ也必为等腰直角三角形，因此需要考虑两种情况：
①以C为直角顶点，过C作直线BC的垂线，此垂线与抛物线的交点即为Q点，易得直线BC的解析式，根据CQ⊥BC，可求得直线CQ的斜率，结合C点坐标即可得到直线CQ的解析式，联立抛物线的解析式即可求得Q点的坐标，进而可求得CQ的长，那么PQ=CQ，由此得解；
②以Q或P为直角顶点，过C作x轴的平行线，那么此直线与抛物线的交点必为Q点，易得CQ的长，当Q为直角顶点时，CQ=PQ，当P为直角顶点时，CQ=PQ，由此得解．
（3）若旋转后的直线与抛物线只有一个交点，有两种情况需要考虑：
①旋转后直线B′C正好和y轴重合，此时两个函数只有一个交点C，由（2）求得PQ=CP=或2，那么OP的最小值应为3-2=1；
②当直线B′C不与y轴重合，设出该直线的解析式，联立抛物线的解析式，若两个函数只有一个交点，所得方程的判别式等于0，由此可确定此直线（设为B′C′）的解析式，进而求得该直线与x轴交点B′的坐标，过O作B′C的垂线，在Rt△B′OC中，利用勾股定理易得B′C的长，进而可根据直角三角形面积的不同表示方法求得OP的长；
比较上述两种情况所得OP的长，即可得到OP的最小值．
点评：此题考查了图形面积的求法、二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定和性质、函数图象交点坐标的求法等知识，（2）（3）题中，都用到了分类讨论的数学思想，一定要将问题考虑全面，以免漏解．