Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，圆心为P（,）的动圆经过点A（1,2）且与轴相切于点B.

（1）当=2是，求⊙P的半径；

（2）求关于的函数解析式，在图②中画出此函数图像；

（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图像进行定义：此函数图像可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合；

（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（，）在点C的右侧，请利用图②，则cos∠APD= ．

Answer 1

【答案】（1）圆P的半径为1.25 ；（2）y= （x﹣1）2+1，图象详见解析；（3）点A， x轴；（4）cos∠APD= = ﹣2+．

【解析】

（1）根据两点间距离公式列式计算即可；

（2）同（1）列出式子并整理，可得y=（x﹣1）2+1，然后描点画图即可；

（3）由（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2可知此函数图像可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；

（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，设PE=a，用a表示出D点坐标，代入到抛物线解析式求出a的值，

解：（1）由x=2，得到P（2，y），

连接AP，PB，

∵圆P与x轴相切，

∴PB⊥x轴，即PB=y，

由AP=PB，得到 ，

解得：y=1.25 ，则圆P的半径为1.25 ；

（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，

整理得：y= （x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，

画出函数图象，如图②所示；

（3）由（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2可知此函数图像可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；

（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，

设PE=a，则有EF=a+1，ED= ，

∴D坐标为（ ，a+1），

代入抛物线解析式得：a+1= 0.25（1﹣a2）+1，

解得：a=﹣2+或a=﹣2﹣ （舍去），即PE=﹣2+ ，

在Rt△PED中，PE=﹣2+，PD=1，

则cos∠APD=﹣2+．