Question

16．关于x的一元二次方程x²-（k+2）x+$\frac{1}{4}$k²-1=0的两根互为倒数，则k的值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设方程x²-（k+2）x+$\frac{1}{4}$k²-1=0的两根为a、b，利用根与系数的关系即可得出a+b=k+2、a•b=$\frac{1}{4}$k²-1，再结合a、b互为倒数，即可得出关于k的一元一次不等式以及一元二次方程，解不等式及方程即可得出结论．

解答 解：设方程x²-（k+2）x+$\frac{1}{4}$k²-1=0的两根为a、b，
则有：a+b=k+2，a•b=$\frac{1}{4}$k²-1，
∵a、b互为倒数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=[-（k+2）]^{2}-4×1×（\frac{1}{4}{k}^{2}-1）≥0}\\{\frac{1}{4}{k}^{2}-1=1}\end{array}\right.$，
解得：k=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是由方程的两根互为倒数得出关于k的一元一次不等式以及一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数找出两根之和与两根之积是关键．