Question

【题目】如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（1）求抛物线的关系式和tan∠BAC的值；

（2）P为抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥OA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在AB上找一点M，使得OM+DM的值最小，直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式：y=x2﹣x+3；tan∠BAC=；（2）点P坐标为：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）；（3）M点坐标（，）.

【解析】

（1）C两点坐标代入二次函数的解析式，解方程组求出m、n的值即可得抛物线的解析式，利用解析式可求出D点坐标，根据抛物线和直线交于A、B两点，解方程组可求得B点坐标，根据A、B、C三点坐标可知△ABC是直角三角形，进而可求得tanBAC 的值.（2）设P（a，a2﹣a+3），根据QA=∠ACB=90°可知相似比为3或，分别讨论点P在点A的下方和下方两种情况，根据相似比求出a的值即可的P点坐标；（3）由A、B两点坐标求出直线AB的解析式，作点O关于直线AB的对称点O'，可求出O′的坐标当O'，M，D三点共线时，OM+DM值最小，连接O'D交AB于M，根据D、O′坐标可求出O'D的析式，结合AB的解析式求出M的坐标即可.

（1）∵抛物线y=x2+mx+n过点A（0，3），点C（3，0）．

∴ ，

解得：n=3，m=﹣，

∴抛物线解析式：y=x2﹣x+3

当y=0时，0=x2﹣x+3

∴x1=3，x2=2

∴D点坐标（2，0）

∵抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点

∴，

解得： ， ；

∴B点坐标（4，1）

∵A（0，3），C（3，0），B（4，1）

∴AB=2，BC=，AC=3，

∵AB2=20，BC2=2，AC2=18

∴AB2=BC2+AC2．

∴∠ACB=90°

∴tan∠BAC==，

（2）设P（a，a2﹣a+3），

若点P在点A的下方，则PQ=a＞0

∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°

∴或，

若，则3AQ=PQ 即3[3﹣（a2﹣a+3）]=a

解得a=，a=0（不合题意舍去）

∴点P（，）

若，则AQ=3PQ 即[3﹣（a2﹣a+3）]=3a

解得：a=0（不合题意舍去），a=﹣1（不合题意舍去）

若点P在点A上方，且在y轴左侧，则PQ=﹣a＞0

∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°

∴或

若，则3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣a

解得：a=0（不合题意舍去），a=（不合题意舍去）

若，则AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣3a

解得：a=0（不合题意舍去），a=﹣1

∴点P（﹣1，6）

若点P在点A上方，且在y轴右侧，则PQ=a＞0

∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°

∴或

若，则3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=a

解得：a=0（不合题意舍去），a=，

∴点P（，）

若，则AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=3a

解得：a=0（不合题意舍去），a=11，

∴点P（11，36）

综上所述：点P坐标为：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）

（3）∵A（0，3），B（4，1）

∴直线AB的解析式：y=﹣x+3

作点O关于直线AB的对称点O'（，）

∴OM+DM=O'M+DM

根据两点之间，线段最短，则当O'，M，D三点共线时，OM+DM值最小．

连接O'D交AB于M

∵O'（，），D（2，0）

∴O'D解析式：y=12x﹣24

则

解得：

∴M点坐标（ ，）