Question

4．一个正比例函数与一个一次函数的图象如图所示，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且AO=2BO．求：
（1）这两个函数的解析式．
（2）△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据待定系数法确定正比例函数解析式为y=$\frac{3}{4}$x；再利用两点间的距离公式计算出OA=5，则B点坐标为（0，-2.5），然后根据待定系数法确定直线AB的解析式；
（2）根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
把A（4，3）代入得3=4k，解得k=$\frac{3}{4}$，
所以直线OA的解析式为y=$\frac{3}{4}$x；
∵A点坐标为（4，3），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴OB=$\frac{1}{2}$OA=2.5，
∴B点坐标为（0，-2.5），
设直线AB的解析式为y=ax+b，
把A（4，3）、B（0，-2.5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=3}\\{b=-2.5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{11}{8}}\\{b=-2.5}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{11}{8}$x-2.5；

（2）△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$×2.5×4=5．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积；若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．