如图.正方形ABCD中.以BC为直径作半圆.BC=2cm.现有两动点E.F.分别从点B.点A同时出发.点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动.点F沿折线A-D-C以2cm/秒的速度向点C运动．当点E到达A点时.E.F同时停止运动.设点E运动时间为t．(1)当t为何值时.四边形ADEF是矩形?(2)设1＜t＜2.当t为何值时.EF与半圆相切?(3)如图2.将图形放在直角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．如图，正方形ABCD中，以BC为直径作半圆，BC=2cm，现有两动点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2cm/秒的速度向点C运动．当点E到达A点时，E、F同时停止运动，设点E运动时间为t．

（1）当t为何值时，四边形ADEF是矩形？
（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？
（3）如图2，将图形放在直角坐标系中，当1＜t＜2时，设EF与AC相交于点P，某双曲线一个分支经过点P，并且与边AB交于点H，求该双曲线的函数关系式及线段AH的长．

分析（1）线段EF和BC平行时，AE=DF，2-t=2t-2，解方程就可以求出其t值．
（2）当EF与半圆O相切时，根据切线的性质，作辅助线如图，利用勾股定理和切线长定理就可以求出其t的值．
（3）当1≤t＜2时，△AEP∽△CFP，就可以求出点P的位置不会发生变化AP：PC=AE：CF是个定值为$\frac{1}{2}$，根据勾股定理求得AC=2$\sqrt{2}$，进而得出CP=$\frac{4}{3}$，从而求得P的坐标为（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），利用待定系数法即可求得双曲线的函数关系式，把x=-2代入双曲线的关系式得y=$\frac{8}{9}$，从而求得H的坐标，根据坐标即可求得AH的值．

解答解：（1）设E、F出发后经过t秒时，四边形ADEF为矩形，
此时BE=t，CF=4-2t，BE=CF，即t=4-2t，
∴t=$\frac{4}{3}$；

（2）如图，设E、F出发后t秒时，EF与半圆相切，过F点作FK∥BC，交AB于K．
则BE=t，CF=4-2t，EK=EB-KB=EB-FC=t-（4-2t）=3t-4．
EF=BE+CF（切线长相等）=4-t
在Rt△EKF中，EF²=EK²+KF²=（4-t）²=（3t-4）²+2²
解得：t=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$或t=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
∵1＜t＜2，∴t=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$；

（3）当1＜t＜2时，
如图：由$\frac{AE}{CF}$=$\frac{2-t}{4-2t}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB∥DC，
∴△APE∽△CPE 则$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AE}{CE}=\frac{1}{2}$，
即点P的位置与t的数值无关．
∴点P的位置不会发生变化，AP：PC的值为$\frac{1}{2}$，
∵AB=BC=2，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∵AP：PC=1：2，
∴CP=$\frac{4}{3}$，
∴P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
将P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）代入双曲线解析式y=$\frac{k}{x}$，得k=-$\frac{16}{9}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{16}{9x}$，
把x=-2代入得y=$\frac{8}{9}$，
∴H（-2，$\frac{8}{9}$），
∴AH=AB-BH=2-$\frac{8}{9}$=$\frac{10}{9}$．

点评本题是反比例函数的综合题，切线的性质，切线长定理的应用，勾股定理的应用，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，有一定的难度．

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