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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，矩形ABCD中，∠ADB=30°，AB=2
    		3
    ．动点P从A点出发沿AD方向运动，速度为每秒3个单位，终点是点D；动点Q从C点出发沿CB方向运动，速度为每秒1个单位，终点是精英家教网点B． 若P、Q两点同时出发，出发时间为t秒，点P、点Q中有一点停止运动，另一点也随之而停止运动．分别以P、Q为圆心，PA、QC为半径作⊙P和⊙Q．
    （1）填空：AD的长为
     
    ；
    （2）当⊙P与直线BD相切时，
    ①用直尺和圆规在图①中作出⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；
    ②求出此时t的值．
    （3）求t为何值时，⊙P与⊙Q相切？
    分析：（1）在直角三角形ADB中，利用30°的正切值即可求得AD的长；
    （2）由作图可知∠PBD=∠ADB=30°，表示出AP=3t，则PB=PD=6-3t然后在Rt△PAB中利用AB2+AP2=PB2得(2
    		3
    )2+(3t)2=(6-3t)2    ，求得t值即可；
    （3）当⊙P与⊙Q外切时，过点P作PM⊥BC足为M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t，利用勾股定理求得t值，当⊙P与⊙Q内切时，过点P作PN⊥BC垂足为N，PQ=3t-t=2t，
    NQ=CQ-CN=t-（6-3t），利用勾股定理求得t值即可．
    解答：解：（1）∵∠ADB=30°，AB=2
    		3
    ．
    ∴AD=AB÷tan30°=2
    		3
    ÷
    		3
    3
    =6；

    （2）①作图正确
    ②由①作图可知∠PBD=∠ADB=30°，AP=3t，则PB=PD=6-3t
    在Rt△PAB中AB2+AP2=PB2
    根据题意得(2
    		3
    )2+(3t)2=(6-3t)2
    解得t=
    2
    3
    ；
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    （3）如图②⊙P与⊙Q外切时，过点P作PM⊥BC垂足为M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t
    则得(4t)2=(2
    		3
    )2+(6-4t)2
    解得t=1；
    如图③⊙P与⊙Q内切时，过点P作PN⊥BC垂足为N，PQ=3t-t=2t，精英家教网
    NQ=CQ-CN=t-（6-3t）=4t-6
    则得(2t)2=(2
    		3
    )2+(4t-6)2
    解得t=2．（11分）
    综合所得，当t=1或2时⊙P与⊙Q相切．
    点评：本题考查了相切两圆的性质及勾股定理等知识，是一道综合性很强的题目．
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    ；△ADE的面积为
     
    ．

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    A、a≥
    1
    2
    b
    B、a≥b
    C、a≥
    3
    2
    b
    D、a≥2b

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    30
    °．

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    3
    3
    cm．

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    求证：梯形EFCD是等腰梯形．

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