Question

如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=-

1

2

x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．

Answer 1

分析：将x=t代入解析式，得到y与t的关系式，然后根据直线在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况并以不同边为斜边构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出t的值，进而求出各点坐标．

解答：解：存在．
方法一：当x=t时，y=x=t；
当x=t时，y=-

1

2

x+2=-

1

2

t+2．
∴E点坐标为（t，-

1

2

t+2），D点坐标为（t，t）．（2分）
∵E在D的上方，
∴DE=-

1

2

t+2-t=-

3

2

t+2，且t＜

4

3

．（3分）
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
若t＞0，PE=DE时，-

3

2

t+2=t，
∴t=

4

5

，-

1

2

t+2=

8

5

，
∴P点坐标为（0，

8

5

）．（5分）
若t＞0，PD=DE时，-

3

2

t+2=t，
∴t=

4

5

，
∴P点坐标为（0，

4

5

）．（6分）
若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，
∴-

3

2

t+2=2t（7分）
∴t=

4

7

，DE的中点坐标为（t，

1

4

t+1），
∴P点坐标为（0，

8

7

）．（8分）
若t＜0，PE=DE和PD=DE时，由已知得DE=-t，-

3

2

t+2=-t，t=4＞0（不符合题意，舍去），
此时直线x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，由已知得DE=-2t，-

3

2

t+2=-2t，（11分）
∴t=-4，

1

4

t+1=0，
∴P点坐标为（0，0）．（12分）
综上所述：当t=

4

5

时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，

8

5

）或（0，

4

5

）；
当t=

4

7

时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，

8

7

）；
当t=-4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

方法二：设直线y=-

1

2

x+2交y轴于点A，交直线y=x于点B，过B点作BM垂直于y轴，垂足为M，交DE于点N．
∵x=t平行于y轴，
∴MN=|t|．（1分）
∵

y=x y=- 1 2 x+2

，
解得x=

4

3

，y=

4

3

，
∴B点坐标为（

4

3

，

4

3

），
∴BM=

4

3

，
当x=0时，y=-

1

2

x+2=2，
∴A点坐标为（0，2），
∴OA=2．（3分）
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
如图，若t＞0，PE=DE和PD=DE时，
∴PE=t，PD=t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴

DE

OA

=

BN

BM

．（5分）
∴

t

2

=

4 3 -t

4 3

，
∴t=

4

5

当t=

4

5

时，y=-

1

2

x+2=

8

5

，y=x=

4

5

∴P点坐标为（0，

8

5

）或（0，

4

5

）．（6分）
若t＞0，PD=PE时，即DE为斜边，
∴DE=2MN=2t．
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴

DE

OA

=

BN

BM

（7分）
∴

2MN

2

=

4 3 -MN

4 3

，
∴MN=t=

4

7

，DE中点的纵坐标为

1

4

t+1=

8

7

，
∴P点坐标为（0，

8

7

）（8分）
如图，
若t＜0，PE=DE或PD=DE时，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴

DE

OA

=

BN

BM

（9分）
DE=-4（不符合题意，舍去），此时直线x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，
∴DE=2MN=-2t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴

DE

OA

=

BN

BM

（11分）
∴

2MN

2

=

4 3 +MN

4 3

，
∴MN=4，
∴t=-4，

1

4

t+1=0，
∴P点坐标为（0，0）．（12分）
综上述所述：当t=

4

5

时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，

8

5

）或（0，

4

5

）；
当t=

4

7

时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，

8

7

）；当t=-4时，
△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

点评：此题难度很大，涉及变量较多，解答时需要将x转化为t，然后根据等腰三角形的性质进行推理，由于情况较多，容易造成漏解，故解答时要仔细．