Question

如图为二次函数y=ax²+bx+c的图象，在下列说法中：
①abc＜0；
②方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3；
③a+b+c＞0；
④当x＞1时，y随x的增大而增大；
⑤9a-3b＞16a+4b
正确的说法有    ．（把正确的答案的序号都填在横线上）

Answer 1

【答案】分析：由抛物线开口方向得到a＞0，由对称轴在y轴的右边得b＜0，由抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方得c＜0，则abc＞0；根据当x=-1时，y=0；x=3时，y=0，则方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3；利用抛物线的对称性由点（-1，0）、（3，0）可得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质得到当x＞1时，y随x的增大而增大；
把x=-3和x=4分别代入抛物线解析式得到9a-3b+c和16a+4b+c，由于x=-3比x=4离直线x=1更远，根据二次函数的性质得到9a-3b+c＞16a+4b+c，然后整理即可．
解答：解：∵抛物线开口相上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右边，
∴x=-＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①错误；
∵当x=-1时，y=0；x=3时，y=0，
∴方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3；所以②正确；
③当x=1时，a+b+c＜0，故此选项错误；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；所以④正确；
∵x=-3时，y=ax²+bx+c=9a-3b+c；x=4时，y=ax²+bx+c=16a+4b+c；
而x=-3比x=4离直线x=1更远，
∴9a-3b+c＞16a+4b+c，
即9a-3b＞16a+4b；所以⑤正确．
故答案为②④⑤．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．