Question

2．如图1，菱形ABCD中，AB=5，tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，△EFG中，∠FEG=90°，EF=2，EG=1，将菱形ABCD与△EFG如图摆放，使点A与E重合，F、A、E、B共线，现将△EFG沿着射线AC以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度平移，当点E与点C重合时停止平移，设平移时间为t秒．

（1）求点C到AB的距离；
（2）在平移过程中，当△EFG与△ACD有重叠部分时，设重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及对应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当△EFG停止平移时，将△EFG绕点C顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），在旋转过程中，设FG所在直线与AC所在直线交于点M，与AD所在直线交于点N，问△AMN能否为等腰三角形？若能，请求出GM的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CH⊥AB于H，由tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，得$\frac{CH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，设CH=x，则AH=2x，在Rt△CBH中，根据BC²=BH²+CH²，列出方程即可解决问题．
（2）分四种情形，①当0＜t≤$\frac{3}{5}$时，如图3中，重叠部分是△EMK，②当$\frac{3}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$时，如图4中，重叠部分是四边形EGMK，③$\frac{8}{5}$＜t≤3时，重叠部分是△EFG，④当3＜t≤4时，如图6中，重叠部分是四边形EFKM，分别求解即可．
（3）分三种情形①如图7中，当NA=NM时，作CH⊥FM于H．．②如图8中，当AN=AM时，③如图9中，当MA=MN时，分别求出MG即可、

解答 解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H，

∵tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，设CH=x，则AH=2x，
在Rt△CBH中，∵BC²=BH²+CH²，
∴5²=x²+（2x-5）²，
解得x=4或0（舍弃），
∴点C到AB的距离为4．

（2）如图2中，当点G在AD上时，

由△GEK∽△CHB，得$\frac{GE}{CH}$=$\frac{KE}{BH}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{KE}{3}$，
∴KE=$\frac{3}{4}$，
∵KE∥CD，
∴$\frac{KE}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{\frac{3}{4}}{5}$=$\frac{AE}{4\sqrt{5}}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，此时t=$\frac{3}{5}$，
∴当0＜t≤$\frac{3}{5}$时，如图3中，重叠部分是△EMK，

∵KE∥CD，
∴$\frac{KE}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴KE=$\frac{5}{4}$t，ME=$\frac{5}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$t×$\frac{5}{3}$t=$\frac{25}{24}$t²．

当$\frac{3}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$时，如图4中，重叠部分是四边形EGMK，

由△MKF∽△ADC，得$\frac{{S}_{△MKF}}{{S}_{△ADC}}$=（$\frac{FK}{CD}$）²，
∴S_△MKF=$\frac{5}{8}$t²-2t+$\frac{8}{5}$，
∴S=S_△FGE-S_△MKF=-$\frac{5}{8}$t²+2t-$\frac{3}{5}$．

如图5中，当点G在CD上时，易知EG=1，CG=2，EC=$\sqrt{5}$，AE=3$\sqrt{5}$，此时t=3，

∴$\frac{8}{5}$＜t≤3时，重叠部分是△EFG，∴S=S_△EFG=1．

当3＜t≤4时，如图6中，重叠部分是四边形EFKM，

∵AE=$\sqrt{5}$t，
∴EC=4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，
∴EM=4-t，MG=1-（4-t）=t-3，
∴KM=2t-6，
∴S=S_△FEG-S_△KMG=-t²+6t-8．

综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{24}{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{3}{5}）}\\{-\frac{5}{8}{t}^{2}+2t-\frac{3}{5}}&{（\frac{3}{5}＜t≤\frac{8}{5}）}\\{1}&{（\frac{8}{5}＜t≤3）}\\{-{t}^{2}+6t-8}&{（3＜t≤4）}\end{array}\right.$

（3）如图7中，当NA=NM时，作CH⊥FM于H．

∵NA=NM，
∴∠NAM=∠M=∠CFG，
∴CF=CM=2，设CH=x，则HM=2x，
∴x²+（2x）²=2²，
∵x＞0，
∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，HM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，GH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴GM=HM-HG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
如图8中，当AN=AM时，

∵AN=AM，
∴∠N=∠AMN，
∴∠MAN=∠CFM，
∴∠FCM=∠FMC，
∴FC=FM=2，
∴MG=FG-FM=$\sqrt{5}$-2．
如图9中，当MA=MN时，

∵∠MAN=∠N=∠CFG，
∴FC∥AN，
∴∠FCM=∠MAN=∠MFC，
∴CM=FM，
∵∠CFM+∠G=90°，∠MCF+∠MCG=90°，
∴∠MCG=∠G，
∴CM=MG，
∴CM=FM=MG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
综上所述当MG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\sqrt{5}$-2或$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，△AMN是等腰三角形．

点评 本题考查几何变换、菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分段函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画出图象解决问题，属于中考压轴题．